2.1-2.2 Potenssi ja sen laskusäännöt
Opetusvideot
Sulut potenssimerkinnässä, negatiivinen eksponentti ja esimerkki eksponentiaalisesta mallista.
Esimerkkikysymykset
[[$ \quad $]] a) [[$ \frac{3^{10}}{3^8} $]]
[[$ \quad $]] b) [[$ 2^5\cdot2\cdot2^6$]]
[[$ \quad $]] c) [[$ (2x)^3 x^4$]]
2. Eräällä alalla keskipalkka on nyt 3200€/kk. Keskipalkka kaksinkertaistuu 12 vuoden välein.
[[$ \quad $]] a) Mikä on keskipalkka 24 vuoden kuluttua?
[[$ \quad $]] b) Mikä oli keskipalkka 360 vuotta sitten?
Ratkaisut esimerkkikysymyksiin
2. a) 24 vuoden kuluttua = 2 kaksinkertaistumista [[$ \rightarrow 3200\cdot2^2=3200\cdot4=12800\,€ $]]
b) 360 vuotta sitten = 30 puolittumista [[$ \rightarrow 3200\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{30}=3200\cdot\frac{1}{1073741824}=0,00000298\, € $]]
2.1-2.2 Potenssilaskuja
1) Potenssimerkintä
2) Negatiivinen eksponentti ja eksponentti 0
3) Kymmenpotenssimuoto.
1) Potenssimerkintä
Esim.1 Miten merkitään kertolaskuna [[$ 2^3 $]]?Ratkaisu: [[$$ 2^3=2 \cdot 2\cdot2 = 8. $$]]
Tässä luku 2 on kantaluku ja luku 3 on eksponentti.
Esim.2 Ilmoita potenssimerkintänä ja laske
- [[$ 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 =$]]
- [[$ (-3) \cdot (-3) \cdot(-3) \cdot (-3)= $]]
- [[$ -1 \cdot 3 \cdot3 \cdot3 \cdot 3= $]]
- [[$ x\cdot x \cdot x \cdot x \cdot y\cdot y =$]]
- luvun 7 neliö
- luvun 2 kuutio.
2) Eksponentti 0 tai negatiivinen eksponentti:
Taulukossa on luvun 2 eri potensseja:
| Potenssi | [[$ 2^4 $]] | [[$ 2^3 $]] | [[$ 2^2 $]] | [[$ 2^1 $]] | [[$ 2^0 $]] | [[$ 2^{-1} $]] | [[$ 2^{-2} $]] | [[$ 2^{-3} $]] | [[$ 2^{-4} $]] |
| Arvo | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 | [[$ \frac{1}{2} $]] | [[$ \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} $]] | [[$ \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} $]] | [[$ \frac{1}{16} = \frac{1}{2^4}$]] |
Millä logiikalla taulukon viisi viimeistä lukua saadaan?
Pari tärkeää johtopäätöstä:
[[$$ a^0 = 1, $$]]ja
[[$$ a^{-n} = \frac{1}{a^n}, $$]]
Lisäksi, [[$ 0^0 $]] ei ole määritelty.
3) Kymmenpotenssimerkintä - hyvin suurien ja pienien lukujen tavallisin merkintätapa
Esimerkkejä:
[[$$ a) 2 180 000 000=2,18 \cdot 10^9 \\ \\ b) 0,000316 = 3,16\cdot 10^{-4} \\ \\ c) 6 378 140 \text{ m } \approx 6 400 000 \text{ m } = 6,4\cdot 10^6 \text{ m } $$]]
2.2 Potenssien laskusäännöt
Hyödylliset potenssien laskusäännöt (ks. taulukkokirja):
| Tulon potenssi | [[$ (ab)^n=a^nb^n $]] |
| Osamäärän potenssi | [[$ (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} $]] |
| Potenssien tulo | [[$ a^ma^n = a^{m+n} $]] |
| Potenssien osamäärä | [[$ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n} $]] |
| Potenssin potenssi | [[$ (a^m)^n=a^{mn} $]] |
Miksi ja miten ne toimivat?
Esim. 1 (potenssien tulo):
Säännön mukaan: [[$ 5^3 \cdot 5^4 = 5^{3+4}=5^7 $]].
Perustelu:
Koska [[$ 5^3 =5\cdot5\cdot5 \text{ ja } 5^4 = 5\cdot5\cdot5\cdot5, $]] niin [[$ 5^3\cdot5^4=5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5 = 5^7=5^{3+4}. $]]
Esim. 2 (tulon potenssi):
Säännön mukaan[[$ (2a)^4 = 2^4a^4 $]] ja tässä tulee perustelu:
[[$ (2a)^4=(2a)\cdot(2a)\cdot(2a)\cdot(2a) = 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a =2^4\cdot a^4=16a^4 $]].
Esim. 3 (osamäärän potenssi + negatiivinen eksponentti): Sievennä
[[$ (\frac{2}{5})^{-2} $]].
Negatiivinen eksponentti murtoluvusta saadaan seuraavasti:
[[$ (\frac{2}{5})^{-2}=(\frac{5}{2})^2 = \frac{5^2}{2^2}=\frac{25}{4}. $]]
Esim. 4. Sievennä ilman laskinta potenssilaskusääntöjä käyttäen:
a) [[$ \frac{3^7}{3^6} =$]]
b) [[$ x^4\cdot x^3 =$]]
c) [[$ (a^2)^5 = $]]
d) [[$ 2,5^2\cdot 4^2 = $]]
e) [[$ \frac{x^2y^5y^3}{y^2x} = $]]