5.1-5.2 Lukujonot (ja rekursiivinen lukujono)

Opetusvideot

Yleistä lukujonoista.


Yleisen termin keksiminen.


Rekursiivinen lukujono.


Esimerkkitehtävät

1. Lukujonon määrää sääntö [[$ a_n=2n+3 $]]​.

[[$ \quad $]]​ a) Määritä 20. jäsen.

[[$ \quad $]] b) Lukujonon eräs jäsen on 93. Kuinka mones jäsen on kyseessä?

2. Päättele lukujonon yleisen termin lauseke.

[[$ \quad $]]​ a) [[$ 2, 4, 6, 8, ... $]]​

[[$ \quad $]]​ b) [[$ 2, 4, 8, 16, ... $]]​

[[$ \quad $]]c) [[$ 3, 5, 7, 9, ... $]]​

(3. Määritä lukujonon [[$ \begin{cases} a_1=1, & \mbox{} \\ a_n=(a_{n-1})^2+1, & \mbox{n = 2, 3, 4, ...} \end{cases} $]] kuudes termi​.)

Vastaukset:

1.
[[$ \quad $]]​ a) [[$ a_{20} = 43 $]]​
[[$ \quad $]]​ b) 45. jäsen

2.
[[$ \quad $]]​ a) [[$ a_n = 2n $]]​

[[$ \quad $]]​ b) [[$ a_n = 2^n $]]​

[[$ \quad $]]​ c) [[$ a_n=2n+1 $]]​

3. [[$ a_6 = 458330 $]]​

Teoriaa tunnilla

Maksaa, Numerot, Numeroiden, Täyttö

Lukujono = päättyvä tai päättymätön luvuista muodostuva jono

  • Esim.1. [[$ 1,2,3,4,... $]]​ tai [[$ 2,4,6,8,... $]]​ tai [[$ (-1), 1, (-1), 1, (-1),... $]]​ tai [[$ 7,4,1,-2,... $]]​
Lukujonon jäsenet tai termit merkitään [[$ a_1, a_2, a_3,... $]]​, jossa alaindeksi kertoo termin järjestysluvun
  • Esim.2. jonon [[$ 2,4,6,8,... $]]​ kolmas jäsen on [[$ a_3=6 $]]​
Lukujono muodostuu yleensä jonkin säännön mukaan, ja säännön avulla saadaan selville lukujonon jäseniä
  • Esim.3. säännöstä [[$ a_n=2n $]]​ saadaan lukujono [[$ 2,4,6,8,... $]]​.
  • Esim.4. selvitä viisi ensimmäistä jonon jäsentä ja 99.jäsen, kun lukujonon sääntö eli yleinen jäsen on [[$ a_n=3n-1. $]]​
[[$$ a_1=3\cdot 1-1=2 \\ a_2=3\cdot2-1=5 \\ a_3=3 \cdot3-1=8 \\ a_4=3\cdot 4-1=11 \\ a_5=3\cdot 5-1=14 \\ a_{99}=3\cdot 99-1=296 $$]]​
  • Esim. 5. Monesko jäsen lukujonossa [[$ a_n=3n-1 $]]​ on luku 44? Entä luku 49?

[[$$ 3n-1=44 \\ 3n = 45 \\ n = 15 $$]]​ Vastaus: 15. jäsen.
[[$$ 3n-1 = 49 \\3n = 50 \\ n = \frac{50}{3} \approx 16,67 $$]]​ Vastaus: Ei mikään jäsen, koska [[$ n $]]​ ei ole kokonaisluku.

Rekursiivinen lukujono= jono, jonka jäsenet määräytyvät edellisten jäsenten avulla

Jonon sääntönä ns. rekursiokaava
  • Esim.6. rekursiokaavalla [[$$ \begin{cases} a_1=2 \\ a_n=a_{n-1}+3, & n=2,3,4,... \end{cases}$$]]​ saadaan lukujono [[$ 2,5,8,11,14,... $]]​
Rekursiokaavasta voidaan joskus tehdä jonolle myös yleinen sääntö.

Joskus yleisen säännön muodostaminen ei onnistu:
  • Esim.7. Fibonaccin lukujono [[$ 1,1,2,3,5,8,13,21,... $]]​ määräytyy rekursiivisen säännön mukaan:[[$$ \begin{cases} a_1=1 \\ a_2=1 \\ a_n=a_{n-1}+a_{n-2}, & n=3,4,5,... \end{cases} $$]]​
  • Esim.8. Määritä 5 ensimmäistä jäsentä lukujonosta [[$$ \begin{cases} a_1=-2 \\ a_n=2\cdot a_{n-1}+1, & n=2,3,4,... \end{cases}. $$]]​ Tästä muodostuu jono [[$ -2,-3,-5,-9,-17. $]]​
Rekursiivisesti määrätyn jonon jäseniä voi selvittää kätevästi laskimella:
  • Esim.9. edellisen jonon 10.jäsen: näppäile ensin ensimmäinen jäsen, [[$ -2 $]]​, sitten enter tai [[$ = $]]​ -merkki. Ohjelmoi sitten lukujono: [[$ 2 \cdot \text{ANS} +1 $]]​. Enteriä painelemalla saadaan nyt lukujonon jäseniä niin pitkälle kuin halutaan.

Peda.net käyttää vain välttämättömiä evästeitä istunnon ylläpitämiseen ja anonyymiin tekniseen tilastointiin. Peda.net ei koskaan käytä evästeitä markkinointiin tai kerää yksilöityjä tilastoja. Lisää tietoa evästeistä