5.1-5.2 Lukujonot (ja rekursiivinen lukujono)

Opetusvideot

Yleistä lukujonoista.
​​

Yleisen termin keksiminen.
​​

Rekursiivinen lukujono.
​​

Esimerkkitehtävät

1. Lukujonon määrää sääntö [[$ a_n=2n+3 $]]​.

[[$ \quad $]]​ a) Määritä 20. jäsen.

[[$ \quad $]] b) Lukujonon eräs jäsen on 93. Kuinka mones jäsen on kyseessä?

2. Päättele lukujonon yleisen termin lauseke.

[[$ \quad $]]​ a) [[$ 2, 4, 6, 8, ... $]]​

[[$ \quad $]]​ b) [[$ 2, 4, 8, 16, ... $]]​

[[$ \quad $]]​ c) [[$ 3, 5, 7, 9, ... $]]​

(3. Määritä lukujonon [[$ \begin{cases} a_1=1, & \mbox{} \\ a_n=(a_{n-1})^2+1, & \mbox{n = 2, 3, 4, ...} \end{cases} $]] kuudes termi​.)

Vastaukset:

1.
[[$ \quad $]]​ a) [[$ a_{20} = 43 $]]​
[[$ \quad $]]​ b) 45. jäsen

2.
[[$ \quad $]]​ a) [[$ a_n = 2n $]]​

[[$ \quad $]]​ b) [[$ a_n = 2^n $]]​

[[$ \quad $]]​ c) [[$ a_n=2n+1 $]]​

3. [[$ a_6 = 458330 $]]​

Teoriaa tunnilla

Maksaa, Numerot, Numeroiden, Täyttö

Lukujono = päättyvä tai päättymätön luvuista muodostuva jono
  • Esim.1. [[$ 1,2,3,4,... $]]​ tai [[$ 2,4,6,8,... $]]​ tai [[$ (-1), 1, (-1), 1, (-1),... $]]​ tai [[$ 7,4,1,-2,... $]]​
Lukujonon jäsenet tai termit merkitään [[$ a_1, a_2, a_3,... $]]​, jossa alaindeksi kertoo termin järjestysluvun
  • Esim.2. jonon [[$ 2,4,6,8,... $]]​ kolmas jäsen on [[$ a_3=6 $]]​
Lukujono muodostuu yleensä jonkin säännön mukaan, ja säännön avulla saadaan selville lukujonon jäseniä
  • Esim.3. säännöstä [[$ a_n=2n $]]​ saadaan lukujono [[$ 2,4,6,8,... $]]​.
  • Esim.4. selvitä viisi ensimmäistä jonon jäsentä ja 99.jäsen, kun lukujonon sääntö eli yleinen jäsen on [[$ a_n=3n-1. $]]​
[[$$ a_1=3\cdot 1-1=2 \\ a_2=3\cdot2-1=5 \\ a_3=3 \cdot3-1=8 \\ a_4=3\cdot 4-1=11 \\ a_5=3\cdot 5-1=14 \\ a_{99}=3\cdot 99-1=296 $$]]​
  • Esim. 5. Monesko jäsen lukujonossa [[$ a_n=3n-1 $]]​ on luku 44? Entä luku 49?

[[$$ 3n-1=44 \\ 3n = 45 \\ n = 15 $$]]​ Vastaus: 15. jäsen.
[[$$ 3n-1 = 49 \\3n = 50 \\ n = \frac{50}{3} \approx 16,67 $$]]​ Vastaus: Ei mikään jäsen, koska [[$ n $]]​ ei ole kokonaisluku.

Rekursiivinen lukujono= jono, jonka jäsenet määräytyvät edellisten jäsenten avulla

Jonon sääntönä ns. rekursiokaava
  • Esim.6. rekursiokaavalla [[$$ \begin{cases} a_1=2 \\ a_n=a_{n-1}+3, & n=2,3,4,... \end{cases}$$]]​ saadaan lukujono [[$ 2,5,8,11,14,... $]]​
Rekursiokaavasta voidaan joskus tehdä jonolle myös yleinen sääntö.

Joskus yleisen säännön muodostaminen ei onnistu:
  • Esim.7. Fibonaccin lukujono [[$ 1,1,2,3,5,8,13,21,... $]]​ määräytyy rekursiivisen säännön mukaan:[[$$ \begin{cases} a_1=1 \\ a_2=1 \\ a_n=a_{n-1}+a_{n-2}, & n=3,4,5,... \end{cases} $$]]​
  • Esim.8. Määritä 5 ensimmäistä jäsentä lukujonosta [[$$ \begin{cases} a_1=-2 \\ a_n=2\cdot a_{n-1}+1, & n=2,3,4,... \end{cases}. $$]]​ Tästä muodostuu jono [[$ -2,-3,-5,-9,-17. $]]​
Rekursiivisesti määrätyn jonon jäseniä voi selvittää kätevästi laskimella:
  • Esim.9. edellisen jonon 10.jäsen: näppäile ensin ensimmäinen jäsen, [[$ -2 $]]​, sitten enter tai [[$ = $]]​ -merkki. Ohjelmoi sitten lukujono: [[$ 2 \cdot \text{ANS} +1 $]]​. Enteriä painelemalla saadaan nyt lukujonon jäseniä niin pitkälle kuin halutaan.