5.1-5.2 Lukujonot (ja rekursiivinen lukujono)
Lukujonoista sopivat tehtävät v2020 (rekursiivinen lukujono kpl 5.2 jää pois)
kpl 5.1 perustehtävät 230-235 ja syventävät tehtävät 240-248 (kaikki)
Opetusvideot
Yleistä lukujonoista.
Yleisen termin keksiminen.
Rekursiivinen lukujono.
Yleisen termin keksiminen.
Rekursiivinen lukujono.
Esimerkkitehtävät
1. Lukujonon määrää sääntö [[$ a_n=2n+3 $]].
[[$ \quad $]] a) Määritä 20. jäsen.
[[$ \quad $]] b) Lukujonon eräs jäsen on 93. Kuinka mones jäsen on kyseessä?
2. Päättele lukujonon yleisen termin lauseke.
[[$ \quad $]] a) [[$ 2, 4, 6, 8, ... $]]
[[$ \quad $]] b) [[$ 2, 4, 8, 16, ... $]]
[[$ \quad $]] c) [[$ 3, 5, 7, 9, ... $]]
(3. Määritä lukujonon [[$ \begin{cases} a_1=1, & \mbox{} \\ a_n=(a_{n-1})^2+1, & \mbox{n = 2, 3, 4, ...} \end{cases} $]] kuudes termi.)
Vastaukset:
1.
[[$ \quad $]] a) [[$ a_{20} = 43 $]]
[[$ \quad $]] b) 45. jäsen
2.
[[$ \quad $]] a) [[$ a_n = 2n $]]
[[$ \quad $]] b) [[$ a_n = 2^n $]]
[[$ \quad $]] c) [[$ a_n=2n+1 $]]
3. [[$ a_6 = 458330 $]]
[[$ \quad $]] a) Määritä 20. jäsen.
[[$ \quad $]] b) Lukujonon eräs jäsen on 93. Kuinka mones jäsen on kyseessä?
2. Päättele lukujonon yleisen termin lauseke.
[[$ \quad $]] a) [[$ 2, 4, 6, 8, ... $]]
[[$ \quad $]] b) [[$ 2, 4, 8, 16, ... $]]
[[$ \quad $]] c) [[$ 3, 5, 7, 9, ... $]]
(3. Määritä lukujonon [[$ \begin{cases} a_1=1, & \mbox{} \\ a_n=(a_{n-1})^2+1, & \mbox{n = 2, 3, 4, ...} \end{cases} $]] kuudes termi.)
Vastaukset:
1.
[[$ \quad $]] a) [[$ a_{20} = 43 $]]
[[$ \quad $]] b) 45. jäsen
2.
[[$ \quad $]] a) [[$ a_n = 2n $]]
[[$ \quad $]] b) [[$ a_n = 2^n $]]
[[$ \quad $]] c) [[$ a_n=2n+1 $]]
3. [[$ a_6 = 458330 $]]
Teoriaa tunnilla
Lukujono = päättyvä tai päättymätön luvuista muodostuva jono
- Esim.1. [[$ 1,2,3,4,... $]] tai [[$ 2,4,6,8,... $]] tai [[$ (-1), 1, (-1), 1, (-1),... $]] tai [[$ 7,4,1,-2,... $]]
- Esim.2. jonon [[$ 2,4,6,8,... $]] kolmas jäsen on [[$ a_3=6 $]]
- Esim.3. säännöstä [[$ a_n=2n $]] saadaan lukujono [[$ 2,4,6,8,... $]].
- Esim.4. selvitä viisi ensimmäistä jonon jäsentä ja 99.jäsen, kun lukujonon sääntö eli yleinen jäsen on [[$ a_n=3n-1. $]]
- Esim. 5. Monesko jäsen lukujonossa [[$ a_n=3n-1 $]] on luku 44? Entä luku 49?
[[$$ 3n-1=44 \\ 3n = 45 \\ n = 15 $$]] Vastaus: 15. jäsen.
[[$$ 3n-1 = 49 \\3n = 50 \\ n = \frac{50}{3} \approx 16,67 $$]] Vastaus: Ei mikään jäsen, koska [[$ n $]] ei ole kokonaisluku.
Rekursiivinen lukujono= jono, jonka jäsenet määräytyvät edellisten jäsenten avulla
Jonon sääntönä ns. rekursiokaava
- Esim.6. rekursiokaavalla [[$$ \begin{cases} a_1=2 \\ a_n=a_{n-1}+3, & n=2,3,4,... \end{cases}$$]] saadaan lukujono [[$ 2,5,8,11,14,... $]]
Joskus yleisen säännön muodostaminen ei onnistu:
- Esim.7. Fibonaccin lukujono [[$ 1,1,2,3,5,8,13,21,... $]] määräytyy rekursiivisen säännön mukaan:[[$$ \begin{cases} a_1=1 \\ a_2=1 \\ a_n=a_{n-1}+a_{n-2}, & n=3,4,5,... \end{cases} $$]]
- Esim.8. Määritä 5 ensimmäistä jäsentä lukujonosta [[$$ \begin{cases} a_1=-2 \\ a_n=2\cdot a_{n-1}+1, & n=2,3,4,... \end{cases}. $$]] Tästä muodostuu jono [[$ -2,-3,-5,-9,-17. $]]
- Esim.9. edellisen jonon 10.jäsen: näppäile ensin ensimmäinen jäsen, [[$ -2 $]], sitten enter tai [[$ = $]] -merkki. Ohjelmoi sitten lukujono: [[$ 2 \cdot \text{ANS} +1 $]]. Enteriä painelemalla saadaan nyt lukujonon jäseniä niin pitkälle kuin halutaan.