5.5-5.6 Geometrinen lukujono (ja summa)

Opetusvideot geometrisesta jonosta ja summasta

Geometrinen lukujono
​​

Geometrisen lukujonon yleisen termin kaavan päätteleminen
​​

Geometrinen summa
​

Riisinjyviä shakkipelin keksijälle (sovellus geometrisesta summasta)
​​

Esimerkkitehtävät

1. Määritä lukujonon [[$ 3,12,48, ...$]]​.

[[$ \quad $]]​ a) yleisen termin lauseke

[[$ \quad $]] b) 12. jäsen

2. Määritä suhdeluku seuraavissa geometrisissa jonoissa

[[$ \quad $]]​ a) [[$ 2, 4, 8, 16, ... $]]​

[[$ \quad $]]​ b) [[$ 2, -4, 8, -16, ... $]]​

[[$ \quad $]]​ c) [[$ -2, 4, -8, 16, ... $]]​

[[$ \quad $]]​ d) [[$ -2, -4, -8, -16, ... $]]​

3. Määritä lukujonon [[$a_n=3\cdot2^{n-1},\, n=1,2,3,...$]] kahdeksan ensimmäisen termin summa​.

Vastaukset:

1.
[[$ \quad $]]​ a) [[$ a_n = 3\cdot 4^{n-1} $]]​

[[$ \quad $]]​ b) [[$ a_{12}=12582912 $]]​

2.
​[[$ \quad $]]​ a) ja d) [[$ q = 2 $]]​

[[$ \quad $]]​ b) ja c) [[$ q = -2 $]]​

3. [[$ S_8 = 765 $]]​

Marian teoriat geometrinen lukujono ja geometrinen summa

Wheat and chessboard
Geometrinen jono: jono, jossa seuraava jäsen saadaan kertomalla edellistä jäsentä aina jollakin samalla luvulla = suhdeluvulla q (= peräkkäisten termien suhde).
  • Esim.1. Jono [[$ 2, 4, 8, 16,... $]]​on geometrinen ja sen suhdeluku on [[$ q = 2$]]​
  • Esim.2. Laske geometrisen jonon [[$ a_n = 3 \cdot 5^{n-1} $]]​ neljä ensimmäistä jäsentä ja päättele suhdeluku.
    • [[$ a_1 = $]]​
    • [[$ a_2 = $]]​
    • [[$ a_3 = $]]​
    • [[$ a_4 = $]]​
    • suhdeluku [[$ q = $]]​
Suhdeluku voidaan laskeakin: ​[[$ q = \frac{a_{n+1}}{a_n} $]]​, esim. [[$ q=\frac{a_2}{a_1} $]]​

Geometrisen jonon yleinen, [[$ n $]]​:s jäsen: [[$ a_n=a_1\cdot q^{n-1} $]]​
  • Esim.3. Mikä on yleinen jäsen lukujonossa, jossa ensimmäinen jäsen on [[$ a_1 = \frac{2}{3} $]]​ ja suhdeluku [[$ q = -3 $]]​ ?
[[$$ a_n = \frac{2}{3} \cdot (-3)^{n-1} $$]]​
  • Esim.4. Mikä on jonon ensimmäinen jäsen, suhdeluku ja yleinen jäsen, kun jonon kolmas jäsen on [[$ a_3=-2 $]]​ ja neljäs jäsen [[$ a_4 = 6 $]]​?
  • suhdeluku:
[[$$ \begin{split} a_4 = a_3\cdot q &= 6 \\ -2 \cdot q &= 6 \\ q&=-3 \end{split} $$]]​
  • ensimmäinen jäsen:
[[$$ \begin{split} a_3&=a_1\cdot q^{2} \\ a_1\cdot (-3)^2 &= -2 \\ a_1\cdot 9 & = -2 \\ a_1& = -\frac{2}{9} \end{split} $$]]​
  • yleinen jäsen:
​[[$$ a_n=-\frac{2}{9}\cdot (-3)^{n-1} $$]]​

Geometrinen summa: Lasketaan yhteen geometrisen jonon jäseniä. Summakaava:
[[$$ S_n = a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q} $$]]​

  • Esim.5. Laske summan [[$ 2+4+8+16+...+256 $]]​ arvo.
  • Kyseessä on geometrinen summa, jossa [[$ a_1=2 $]]​, suhdeluku [[$ q=2 $]]​ ja yhteenlaskettavien määrä [[$ n = 8 $]]​.
​[[$$ S_8=2\cdot \frac{1-2^8}{1-2} = 510 $$]]​

Summamerkintänä edellinen merkitään [[$$ S_8=\sum_{n=1}^8 2 \cdot 2^{n-1} $$]]​

  • Esim.6 (sovellus). Lääkäri määrää potilaalle viikon lääkekuurin, jonka aikana lääkettä annetaan ensimmäisenä päivänä 80 g ja sen jälkeen joka päivä puolet edellisen päivän annoksesta. Lääkäri kirjoittaa reseptin 150 gramman lääkepullolle. Riittääkö pullollinen koko viikoksi? Muodosta tehtävään geometrinen summa ja laske tulos summakaavan avulla.