5.3-5.4 Aritmeettinen lukujono (ja summa)
Opetusvideot aritmeettisesta jonosta ja summasta
Aritmeettinen jono
Aritmeettinen summa
Aritmeettinen summa
Esimerkkitehtävät
1. Mitkä jonoista voisivat olla aritmeettisia? Jos jono on aritmeettinen, selvitä sen erotusluku eli differenssi sekä yleinen jäsen [[$ a_n $]].
1. Aritmeettisia jonoja ovat 1. (erotusluku 3 ja yleinen termi [[$ a_n = 3n+1 $]]), 3. (erotusluku 3 ja yleinen termi [[$ a_n = 3n $]]) ja 5. (erotusluku [[$ \frac{1}{2} $]] ja yleinen termi [[$ a_n = \frac{1}{4}n $]]).
2. [[$ a_{100} = 53,5 $]]
Kyllä, 113. jäsen.
3. [[$ S_{10} = 275 $]]
Summa on 4900.
- [[$ 4,7,10,13,... $]]
- [[$ 3,9,27,81,... $]]
- [[$ 3, 6, 9, 12, ... $]]
- [[$ 1,-1,2,-2,... $]]
- [[$ \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4},1,... $]]
- Mikä on jonon 100.jäsen?
- Onko 60 jokin tämän jonon jäsen? Monesko jäsen?
- aritmeettisen jonon [[$ 5,10,15,20,... $]]kymmenen ensimmäisen jäsenen summa!
- aritmeettinen summa [[$$ \sum_{k=1}^{70} (2k-1). $$]]
1. Aritmeettisia jonoja ovat 1. (erotusluku 3 ja yleinen termi [[$ a_n = 3n+1 $]]), 3. (erotusluku 3 ja yleinen termi [[$ a_n = 3n $]]) ja 5. (erotusluku [[$ \frac{1}{2} $]] ja yleinen termi [[$ a_n = \frac{1}{4}n $]]).
2. [[$ a_{100} = 53,5 $]]
Kyllä, 113. jäsen.
3. [[$ S_{10} = 275 $]]
Summa on 4900.
Marian teoriat
Aritmeettinen lukujono:
Jono, jossa seuraava jäsen saadaan lisäämällä edelliseen aina sama luku (erotusluku eli differenssi, merkitään usein [[$ d $]])
Yleinen lauseke ja mikä tahansa jäsen saadaan aina näin:
[[$$ a_n=a_1+(n-1)\cdot d $$]]
Aritmeettisen jonon [[$ 4, 8, 12, ... $]] 13 ensimmäisen jäsenen summa [[$ 4+8+12+16+...+52 $]] on helppo laskea seuraavan kaavan avulla: [[$$ \begin{split} S_n&=n\cdot\frac{a_1+a_n}{2}\\ \\ S_{13}&=13\cdot \frac{4+52}{2}=364 \end{split} $$]]
Määritetään ensin yleinen jäsen [[$ a_{n}=a_1+(n-1) \cdot d=2+(n-1)\cdot 3 = 3n-1 $]]
[[$ a_1= \\\\n= \\\\ a_{10}= \\\\S_{10}= $]]
Summamerkintä:
Edellisen esimerkin summaa voidaan merkitä myös
[[$$ S_{10}=\sum_{n=1}^{10} (3n-1). $$]]
Jono, jossa seuraava jäsen saadaan lisäämällä edelliseen aina sama luku (erotusluku eli differenssi, merkitään usein [[$ d $]])
- Esim.1. Jonossa [[$ 4, 8, 12, 16, ... $]] erotuslukuna [[$ d = 4. $]] Erotusluku voidaan selvittää esimerkiksi laskemalla [[$ d = a_2-a_1=8-4 $]] tai [[$ d=a_4-a_3=16-12 $]].
- Esim.2. Jono [[$ a_n=6n-4 $]] on aritmeettinen (ensimmäiset jäsenet [[$ 2,8,14,20,26,... $]]), erotuslukuna on [[$ d=6 $]].
- Esim. 3. Jono [[$ 2,4,8,16,... $]] ei ole aritmeettinen lukujono. Miksi?
- Esim.4. Aritmeettisessa jonossa ensimmäinen jäsen on 22 ja erotusluku 3. Muodosta yleisen jäsenen lauseke.
Yleinen lauseke ja mikä tahansa jäsen saadaan aina näin:
[[$$ a_n=a_1+(n-1)\cdot d $$]]
- Esim.5. Määritä edellisen esimerkin jonosta jäsen [[$ a_{24} $]].
Aritmeettisen jonon [[$ 4, 8, 12, ... $]] 13 ensimmäisen jäsenen summa [[$ 4+8+12+16+...+52 $]] on helppo laskea seuraavan kaavan avulla: [[$$ \begin{split} S_n&=n\cdot\frac{a_1+a_n}{2}\\ \\ S_{13}&=13\cdot \frac{4+52}{2}=364 \end{split} $$]]
- Esim.6. Määritä jonon [[$ 2, 5, 8, 11,... $]] 10 ensimmäisen jäsenen summa [[$ S_{10}. $]]
Määritetään ensin yleinen jäsen [[$ a_{n}=a_1+(n-1) \cdot d=2+(n-1)\cdot 3 = 3n-1 $]]
[[$ a_1= \\\\n= \\\\ a_{10}= \\\\S_{10}= $]]
Summamerkintä:
Edellisen esimerkin summaa voidaan merkitä myös
[[$$ S_{10}=\sum_{n=1}^{10} (3n-1). $$]]