Ratkaise epäyhtälö [[$ 9(\frac{x}{3}+1)+\frac{1}{4}(-32+2x) \geq 7(\frac{1}{2}x-5)+36 $]]​.

Ratkaisu:
[[$$ \begin{align} 9(\frac{x}{3}+1)+\frac{1}{4}(-32+2x)& \geq 7(\frac{1}{2}x-5)+36&&\parallel\text{poistetaan sulut}\\ 3x+9-8+\frac{1}{2}x&\geq\frac{7}{2}x-35+36&&\\ 3\frac{1}{2}x+1&\geq 3\frac{1}{2}x+1&& \parallel -3\frac{1}{2}x-1\\ 0&\geq0&&\parallel\text{identtisesti tosi}\end{align} $$]]​

Vastaus: Epäyhtälö toteutuu muuttujan [[$ x $]] kaikilla arvoilla. (Vastaus voidaan ilmoittaa myös [[$ R_{j}=\mathbb{R} $]] tai [[$ x\in \mathbb{R} $]])​

Esimerkki 10

Ratkaise epäyhtälö [[$ -9x-5<-x+3 $]]​ graafisesti ja tarkista vastaus algebrallisesti.

Ratkaisu:
Piirretään epäyhtälön vasemman ja oikean puolen kuvaajat ja katsotaan milloin epäyhtälö toteutuu.

Suorat leikkaavat kohdassa [[$ x=-1 $]]​.
Oranssi suora on sinisen suoran alapuolella, kun [[$ x>-1 $]]​.

Vastaus: [[$ x>-1 $]]

Tarkistus:[[$$ \begin{align} -9x-5&<-x+3 &∥&+x\\ -8x-5&<3 &∥&+5\\-8x&<8&∥&:(-8) &&&\text{merkki kääntyy!}\\x&>-1\end{align} $$]]​Saatu tulos vahvistaa graafisen ratkaisun oikeellisuuden.

Esimerkki 11

Ratkaise epäyhtälö [[$ -3x-4>-3x+2 $]]​ graafisesti ja tarkista vastaus algebrallisesti.

Ratkaisu:

Oranssi suora [[$ f(x)=-3x-4 $]]​ on aina sinisen suoran [[$ g(x)=-3x+2 $]]​ alapuolella, joten epäyhtälö ei toteudu millään muuttujan [[$ x $]]​ arvolla. Suorat ovat yhdensuuntaiset, koska molempien ensimmäisen asteen termin kerroin on [[$ -3 $]]​ , joten ne eivät leikkaa toisiaan missään pisteessä.

Vastaus: Ei ratkaisua (vastaus voidaan ilmoittaa myös [[$R_{j}=\phi $]])

Tarkistus:

[[$ \begin{align} -3x-4&\geq-3x+2 &∥&+3x\\ -4&\geq2 &&&\text{identtisesti epätosi, joten ei ratkaisua}\end{align} $]]​

Saatu tulos vahvistaa graafisen ratkaisun oikeellisuuden.

Kaksoisepäyhtälö on muotoa [[$ f(x) < g(x) < h(x) $]]​.
Sitä voidaan nimittää myös yhdistetyksi epäyhtälöksi, koska se koostuu kahdesta epäyhtälöstä [[$ f(x) < g(x) $]]​ ja [[$ g(x) < h(x) $]]​. Kaksoisepäyhtälön ratkaisu ovat ne pisteet, joissa molemmat epäyhtälöt toteutuvat.

---

Vastaus voidaan tarkistaa sijoittamalla saadulle välille kuuluva muuttujan [[$ x $]] arvo kaksoisepäyhtälöön ja tutkimalla, toteuttaako se epäyhtälön.

Esimerkki 12

Ratkaise [[$ 3x<-x+1<\frac{x}{2}+4 $]]​.

Ratkaisu:
Jaetaan kaksoisepäyhtälö epäyhtälöiksi [[$ 3x<-x+1 $]] ja [[$ -x+1<\frac{x}{2}+4 $]].

1. epäyhtälö
[[$$\begin{align}3x&<-x+1&\| &+x\\4x&<1&\| &:4\\x&<\frac{1}{4}\end{align}$$]]
2. epäyhtälö
[[$$\begin{align}-x+1&<\frac{x}{2}+4&\| &\cdot2\\-2x+2&<x+8&\| &-x\\-3x+2&<8&\| &-2\\-3x&<6&\| &:(-3)&\text{Merkki kääntyy!}\\x&>-2\end{align}$$]]
Yhdistetään vastaukset:

Vastaus: [[$ -2<x<\frac{1}{4} $]]​

Tarkistetaan vastaus sijoittamalla saadulle välille [[$ -2<x<\frac{1}{4} $]] kuuluva arvo [[$ x = -1 $]]​ alkuperäiseen kaksoisepäyhtälöön [[$ 3x<-x+1<\frac{x}{2}+4 $]]. Sijoitetaan myös saadulle välille kuulumattomat muuttujan [[$ x $]] arvot [[$ x=-3 $]] ja [[$ x=1 $]] alkuperäiseen kaksoisepäyhtälöön.

	[[$ 3x < -x + 1 < \dfrac{x}{2} + 2 $]]
[[$x = -3$]]	[[$ 3\cdot (-3) < -(-3)+1 < \dfrac{-3}{2}+4 $]] [[$-9 < 4 < 2 \dfrac{1}{2}$]]	epätosi
[[$x = -1$]]	[[$ 3 \cdot (-1) < -(-1)+1 < \dfrac{-1}{2}+4$]] [[$ -3 < 2 < 3\dfrac{1}{2} $]]	tosi
[[$x = 1$]]	[[$3 \cdot 1 < -1+1 < \dfrac{-1}{2}+4$]] [[$ 3 < 0 < 4 \dfrac{1}{2} $]]​	epätosi

[[$ x=-1 $]]​ toteuttaa kaksoisepäyhtälön, joten vastaus on oikea.

Jos kaksoisepäyhtälössä muuttuja [[$ x $]]​ on vain yhdessä lausekkeessa, nopein tapa ratkaista kaksoisepäyhtälö on ratkaista molemmat epäyhtälöt yhtä aikaa.

Esimerkki 13

Ratkaise kaksoisepäyhtälö [[$ -7<3x-4<-8 $]]​.

Ratkaisu:
[[$$\begin{align}-7&<3x-4<-8&\| &+4&\text{kaikkiin termeihin lisätään 4}\\-3&<3x<-4&\| &:3\\-1&<x<-\frac{4}{3}\end{align}$$]]
Tarkastellaan vastausta merkkikaaviolla.

Epäyhtälöt eivät toteudu samoilla muuttujan [[$ x $]]​ arvoilla, joten kaksoisepäyhtälöllä ei ole ratkaisua.

Vastaus: Ei ratkaisua. (Vastaus voidaan ilmoittaa myös [[$R_{j}=\emptyset$]].)