5.5 Korkeamman asteen epäyhtälö
Korkeamman asteen epäyhtälö
Korkeamman ([[$ n $]]:nnen) asteen epäyhtälössä muuttujan korkein eksponentti [[$ n $]] on 3 tai suurempi. Epäyhtälö on esimerkiksi muotoa [[$ a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+ a_{1}x + a_{0}<0 $]], jossa [[$ a_{n} \neq 0 $]].
Korkeamman asteen epäyhtälön ratkaiseminen
Korkeamman asteen epäyhtälön ratkaiseminen edellyttää yleensä merkkikaavion piirtämistä.
Korkeamman asteen epäyhtälön ratkaiseminen
- Kaikki termit siirretään epäyhtälömerkin vasemmalle puolelle. Tällöin epäyhtälö saadaan muotoon, jossa oikealla puolella on vain nolla
- Sievennetään epäyhtälö niin pitkälle kuin mahdollista, jolloin saadaan esimerkiksi muoto [[$f(x)<0$]]
- Ratkaistaan funktion [[$f(x)$]] nollakohdat. Jos epäyhtälö on tulomuodossa, esimerkiksi [[$ (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)<0 $]], nollakohtia ovat [[$ x_1, x_2 $]] ja [[$x_3$]]
- Laaditaan merkkikaavio
- Luetaan merkkikaaviosta epäyhtälön ratkaisu
Kertausta:
Astelukua [[$ n $]] olevalla polynomilla on korkeintaan [[$ n $]] reaalista nollakohtaa.Jos asteluku [[$ n $]] ([[$ n \geq 1 $]]) on pariton, niin funktiolla [[$ f(x) $]] on ainakin yksi nollakohta. Jos asteluku [[$ n $]] ([[$ n \geq 2 $]]) on parillinen, niin funktiolla [[$ f(x) $]] ei välttämättä ole reaalista nollakohtaa.
Kolmannen asteen funktiolla on [[$ 1, 2 $]] tai [[$ 3 $]] nollakohtaa. Neljännen asteen funktiolla on [[$ 0, 1, 2, 3 $]] tai [[$ 4 $]] nollakohtaa.
Funktion merkki voi vaihtua ainoastaan silloin, kun ohitetaan nollakohta. Merkki ei välttämättä vaihdu nollakohdassa, jos funktion kuvaaja vain sivuaa [[$ x $]]-akselia nollakohdassa, kuten alla olevassa kuviossa.
| 1. termin merkki | 2. termin merkki | tulo |
|---|---|---|
| [[$+$]] | [[$+$]] | [[$+$]] |
| [[$-$]] | [[$-$]] | [[$+$]] |
| [[$+$]] | [[$-$]] | [[$-$]] |
| [[$-$]] | [[$+$]] | [[$-$]] |
Tulo on negatiivinen, kun negatiivisten tulontekijöiden lukumäärä on pariton. Tulo on positiivinen, kun negatiivisten tulontekijöiden lukumäärä on parillinen.
Esimerkiksi
[[$$ -1\cdot(-1)\cdot(-1)=-1\\-1\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)=1\\-1\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)=-1 $$]]
Esimerkki 1
Ratkaisu:
Epäyhtälö on muotoa [[$ f(x)\geq0 $]] . Tulon nollasäännön perusteella funktion nollakohdat ovat [[$ x=2, x=5 $]] ja [[$ x=-1 $]].
- [[$ x-2 $]] on positiivinen, kun [[$ x>2 $]]
- [[$ x-5 $]] on positiivinen, kun [[$ x>5 $]]
- [[$ x+1 $]] on positiivinen, kun [[$ x>-1 $]]
Merkkikaavion alimmalle tuloriville merkitään [[$ + $]], jos yläpuolella on parillinen määrä miinuksia. Tuloriville merkitään [[$ - $]], jos yläpuolella on pariton määrä miinuksia.
Epäyhtälön ratkaisu luetaan merkkikaavion tuloriviltä. Epäyhtälö toteutuu, kun tulo on [[$ \geq0 $]]. Merkitään kaavion alle värillisenä ne lukusuoran välit, joissa tulo on ei-negatiivinen eli [[$ -1 \leq x \leq 2 $]] sekä silloin, kun [[$ x\geq5 $]].
Vastaus: [[$ -1 \leq x\leq2 $]] tai [[$ x\geq5 $]].
Vastauksen voi tarkistaa joko kuvaajasta tai sijoittamalla kultakin lukusuoran väliltä valittu muuttujan [[$ x $]] arvo epäyhtälöön, esimerkiksi [[$ x=-2 $]], [[$ x=0 $]], [[$ x=3 $]] ja [[$ x=6 $]].
| [[$(x-2)(x-5)(x+1)$]] | ||
|---|---|---|
| [[$x = -2$]] | [[$(-2-2)(-2-5)(-2+1) = -28$]] | negatiivinen |
| [[$x = 0$]] | [[$(0-2)(0-5)(0+1) = 10$]] | positiivinen |
| [[$x = 3$]] | [[$(3-2)(3-5)(3+1) = -8$]] | negatiivinen |
| [[$x = 6$]] | [[$(6-2)(6-5)(6+1) = 28$]] | positiivinen |
Taulukko todentaa saman kuin merkkikaavio eli vastaus on oikea.
Esimerkki 2
Ratkaise
a) [[$ x^3+6x^2+8x>0 $]]
b) [[$ -x^3-6x^2-8x>0 $]].
Ratkaisu:
a) [[$$ \begin{align}x^3+6x^2+8x&>0 \ & &\text{otetaan}\ x \ \text{yhteiseksi tekijäksi}\\x(x^2+6x+8)&>0\end{align} $$]]
Ratkaistaan funktion nollakohdat.
[[$$ \begin{align}x(x^2+6x+8)&=0\ & &\text{tulon nollasääntö}\\x=0 \ \text{tai} \ x^2+6x+8&=0\end{align} $$]]
Nollakohdat ovat [[$ x=0 $]], [[$ x=-2 $]] ja [[$ x=-4 $]]. Epäyhtälö tulomuodossa on [[$ x(x+2)(x+4)>0 $]].
- [[$ x $]] on positiivinen, k
un [[$ x>0 $]] - [[$ x+2 $]] on positiivinen, kun [[$ x>-2 $]]
- [[$ x+4 $]] on positiivinen, kun [[$ x>-4 $]]
Laaditaan merkkikaavio.
Toinen vaihtoehto laatia merkkikaavio on merkitä toisen asteen funktio omalle rivilleen. Tällöin pitää huomioida, aukeaako paraabeli ylös- vai alaspäin.
[[$ f(x)=x^2+6x+8 $]] on positiivinen, kun [[$ x<-4 $]] tai [[$ x>-2 $]].
Molemmissa päädytään samaan vastaukseen.
Vastaus: [[$ -4<x<-2 $]] tai [[$ x>0 $]]
Tarkistetaan vastaus kuvaajasta.
Kuvaaja todentaa saman kuin merkkikaavio eli vastaus on oikein.
b) [[$$ \begin{align}-x^3-6x^2-8x&>0 \ & &\text{otetaan}\ -x \ \text{yhteiseksi tekijäksi}\\-x(x^2+6x+8)&>0\end{align} $$]]
Ratkaistaan [[$ -x(x^2+6x+8)=0 $]].
Nollakohdat ovat [[$ x=0 $]], [[$ x=-2 $]] ja [[$ x=-4 $]].
Huomataan, että kohdissa [[$ a $]] ja [[$ b $]] nollakohdat ovat tarkalleen samat.
Kohtien [[$ a $]] ja [[$ b $]] kuvaajat ovat toistensa peilikuvia.
Epäyhtälö tulomuodossa on [[$ -x(x+2)(x+4)>0 $]].
- [[$ -x $]] on positiivinen, k
un [[$ x<0 $]]
- [[$ x+2 $]] on positiivinen, kun [[$ x>-2 $]]
- [[$ x+4 $]] on positiivinen, kun [[$ x>-4 $]]
Laaditaan merkkikaavio.
Toinen vaihtoehto merkkikaaviolle:
[[$ f(x)=x^2+6x+8 $]] on positiivinen, kun [[$ x<-4 $]] tai [[$ x>-2 $]].
Vastaus: [[$ x<-4 $]] tai [[$ -2<x<0 $]]
Yhtälön kaksoisjuuri
Joskus funktiolla on kaksi yhtä suurta nollakohtaa. Tällöin vastaavalla yhtälöllä on kaksoisjuuri. Kaksoisjuuri huomioidaan korkeamman asteen epäyhtälöä ratkaistaessa siten, että kaksoisjuurta vastaava tulon tekijä merkitään kaksi kertaa merkkikaavioon.
Esimerkki 3
Ratkaise epäyhtälö [[$ x^3-7x^2-4x+8>-5x^2 $]]
Ratkaisu:
[[$$ \begin{align}x^3-7x^2-4x+8&>-5x^2&\parallel+5x^2\\x^3-2x^2-4x+8&>0\end{align} $$]]
Otetaan yhteinen tekijä kahdesta ensimmäisestä termistä sekä kahdesta viimeisestä termistä. [[$$ \begin{align}x^3-2x^2-4x+8&>0\\x^2(x-2)-4(x-2)&>0&\text{otetaan}\ (x-2)\ \text{yhteiseksi tekijäksi}\\(x-2)(x^2-4)&>0\end{align} $$]]
Polynomin termit voisi myös ryhmitellä uudestaan:[[$$ x^3-4x-2x^2+8>0 $$]] Kahdesta ensimmäisestä termistä otetaan yhteinen tekijä, samoin kahdesta viimeisestä termistä. [[$$ x(x^2-4)-2(x^2-4)>0 $$]] Päädytään samaan muotoon kuin edellä, kun otetaan [[$ x^2-4 $]] yhteiseksi tekijäksi. [[$$ (x^2-4)(x-2)>0 $$]]
Ratkaistaan nyt vastaava yhtälö [[$ (x^2-4)(x-2)=0 $]].
Määritetään polynomien [[$ x^2-4 $]] ja [[$ x-2 $]] nollakohdat. [[$$ \begin{align}x^2-4&=0&\parallel+4\\x^2&=4&\parallel \sqrt{}\\x&\pm\sqrt{4}\\x&=\pm 2\end{align} $$]]
[[$$ \begin{align}x-2&=0&\parallel +2\\x&=2\end{align} $$]]
Huomataan, että [[$ x=2 $]] on yhtälön kaksoisjuuri, sillä polynomien nollakohdat ovat [[$ x=2, x=2 $]] ja [[$ x=-2 $]].
Laaditaan merkkikaavio, johon ([[$ x-2 $]]) merkitään kaksi kertaa!
Koska nollakohtia ei oteta mukaan, arvo [[$ x=2 $]] ei kelpaa.
Vastaus: [[$ -2<x<2 $]] tai [[$ x>2 $]]. (Vastaus voidaan ilmoittaa myös [[$ x>-2 $]] ja [[$ x \neq 2 $]])
Tarkistetaan vastaus kuvaajasta:
Vastaus pitää paikkansa.
Aiheeseen liittyvä opetusvideo löytyy 
Opetus.tv:stä .
Esimerkki 4
Ratkaise epäyhtälö [[$ x^3-2x\neq0 $]].
Ratkaisu:
Ratkaistaan funktion nollakohdat.[[$$\begin{align}x^3-2x&=0&&
\text{otetaan x yhteiseksi tekijäksi}\\x(x^2-2)&=0&&\text{tulon
nollasääntö}\\x=0 \ \text{tai}\ x^2-2&=0&\parallel&+2\\x=0 \ \text{tai}\ x^2&=2&\parallel& \sqrt{}\\x=0 \ \text{tai}\ x&=\pm \sqrt{2}\end{align}$$]]Epäyhtälön ratkaisujoukon muodostavat kaikki muut reaaliluvut paitsi em. nollakohdat.
Vastaus: [[$ x\neq0 $]] ja [[$ x \neq \pm \sqrt{2} $]]
Esimerkki 5
Ratkaisu:
Muodostetaan epäyhtälö.
[[$$\begin{align}2(x^3-2x^2)&>-(-x^2+3x)&& \text{poistetaan sulut}\\2x^3-4x^2&>x^2-3x&\parallel -x^2+3x\\2x^3-5x^2+3x&>0\end{align}$$]]
Ratkaistaan funktion [[$ h(x)=2x^3-5x^2+3x $]] nollakohdat.
[[$$\begin{align}2x^3-5x^2+3x&=0&& \text{otetaan}\ x \ \text{yhteiseksi tekijäksi}\\x(2x^2-5x+3)&=0&&\text{tulon nollasääntö}\\x=0 \ \text{tai} \ 2x^2-5x+3&=0\\x=0 \ \text{tai} \ x=1\ \text{tai} \ x&=\frac {3}{2}\end{align}$$]]
Epäyhtälö on tulomuodossa [[$ x(x-1)(x-\frac{3}{2})>0 $]].
Laaditaan merkkikaavio.
Merkkikaaviosta luetaan, milloin epäyhtälö toteutuu.
Vastaus: [[$ 0<x<1 $]] tai [[$ x>\frac{3}{2} $]]
Ratkaiseminen graafisesti
Yllä olevan tehtävän voi ratkaista myös graafisesti. Koska funktion [[$ h(x)=2x^3-5x^2+3x $]] kolmannen asteen termin kerroin [[$ 2 $]] on positiivinen, muuttujan [[$ x $]] lähestyessä ääretöntä funktion kuvaaja lähestyy ääretöntä.
Nollakohdat ovat yllä ratkaistut [[$ x=0 $]], [[$ x=1 $]] ja [[$ x=\frac{3}{2} $]].
Kuvaajasta luetaan, milloin funktio saa positiivisia arvoja eli milloin funktion kuvaaja on [[$ x $]]-akselin yläpuolella.
Epäyhtälö toteutuu, kun [[$ 0<x<1 $]] tai [[$ x>\frac{3}{2} $]].
Vastaus: [[$ 0<x<1 $]] tai [[$ x>\frac{3}{2} $]]
Esimerkki 6
Ratkaise epäyhtälö [[$ x^4-2x^3+x^2-2x>0 $]].
Ratkaisu:
(Huomautus: Älä jaa epäyhtälöä muuttujalla [[$x$]], koska sen merkki ei ole tiedossa. Tällöin pitäisi tarkastella erikseen tapaukset, kun [[$x$]] on positiivinen tai negatiivinen ja tutkia, toteuttaako [[$x=0$]] alkuperäisen epäyhtälön)
Ratkaistaan nollakohdat.
[[$ x^4-2x^3+x^2-2x=0 $]]
Otetaan yhteinen tekijä kahdesta ensimmäisestä termistä ja kahdesta viimeisestä termistä
[[$$\begin{align}x^3(x-2)+x(x-2)&=0&& \text{otetaan} \ (x-2) \text{ yhteiseksi tekijäksi}\\(x-2)(x^3+x)&=0&& \text{tulon nollasääntö}\\x-2=0 \ \text{tai} \ x^3+x&=0&& \text{otetaan jälkimmäisestä x yhteiseksi tekijäksi}\\x=2 \ \text{tai} \ x(x^2+1)&=0&& \text{tulon nollasääntö}\\x=2 \ \text{tai} \ x=0 \ \text{tai} \ x^2+1&=0\\ x=2 \ \text{tai} \ x=0 \ \text{tai} \ x^2&=-1 \end{align}$$]]
Negatiivisesta luvusta ei voi ottaa neliöjuurta, joten yhtälöllä [[$ x^2=-1 $]] ei ole ratkaisua.
Epäyhtälö tulomuodossa on [[$ x(x-2)(x^2+1)>0 $]].
- [[$ x $]]
on positiivinen, kun [[$ x>0 $]] - [[$ x-2 $]] on positiivinen, kun [[$ x>2 $]]
- [[$ x^2+1 $]] saa kaikilla muuttujan[[$ x $]] arvoilla positiivisia arvoja.
Merkkikaaviosta nähdään, että epäyhtälö toteutuu, kun [[$ x<0 $]] tai [[$ x>2 $]].
Vastaus: [[$ x<0 $]] tai [[$ x>2 $]]
Esimerkki 7
Ratkaise bikvadraattinen epäyhtälö [[$ x^4+\text{4,7}x^2+12x+\text{1,7}<12x+\text{7,4} $]].
Ratkaisu:[[$$\begin{align}x^4+\text{4,7}x^2+12x+\text{1,7}&<12x+\text{7,4}& \parallel -12x-\text{7,4}\\x^4+\text{4,7}x^2-\text{5,7}&<0 \end{align}$$]]
Ratkaistaan funktion [[$ x^4+\text{4,7}x^2-\text{5,7} $]] nollakohdat.
[[$$\begin{align}x^4+\text{4,7}x^2-\text{5,7}&=0&&\text{muokataan yhtälöä}\\(x^2)^2+\text{4,7}x^2-\text{5,7}&=0&&\text{sijoitetaan} \ t=x^2\\t^2+\text{4,7}t-\text{5,7}&=0&&\text{ratkaistaan} \ t\\t=1 \ \text{tai} \ t&=-\text{5,7}&&\text{sijoitetaan} \ x^2=t\\x^2=1 \ \text{tai} \ x^2&=-\text{5,7}&&x^2=-\text{5,7} \ \text{aina epätosi}\\x&= \pm1\end{align}$$]]
Negatiivisesta luvusta ei voi ottaa neliöjuurta, joten yhtälöllä [[$ x^2=-\text{5,7} $]] ei ole ratkaisua.
Nollakohdat jakavat lukusuoran kolmeen osaväliin: [[$ x<-1 $]], [[$ -1<x<1 $]] ja [[$ x>1 $]].
Funktion merkin vaihtelu saadaan selville sijoittamalla kultakin em. osaväliltä valittu muuttujan [[$ x $]] arvo alkuperäiseen epäyhtälöön.
| [[$x^4+\text{4,7}x^2-\text{5,7}$]] | ||
|---|---|---|
| [[$x = -2$]] | [[$(-2)^4+\text{4,7}(-2)^2-\text{5,7} = \text{29,1}$]] | positiivinen |
| [[$x = 0$]] | [[$0^4+\text{4,7}0^2-\text{5,7} = -\text{5,7}$]] | negatiivinen |
| [[$x = 2$]] | [[$2^4+\text{4,7}2^2-\text{5,7}= \text{29,1}$]] | positiivinen |
Funktion [[$ x^4+\text{4,7}x^2-\text{5,7} $]] kuvaaja osoittaa saman:
Epäyhtälö [[$ x^4+\text{4,7}x^2-\text{5,7}<0 $]] toteutuu silloin, kun [[$ -1<x<1 $]].
Vastaus: [[$ -1<x<1 $]]
*Esimerkki 8
Ratkaisu:
[[$$\begin{align}x^3-2x+1& \leq x-1& \parallel -x+1\\x^3-3x+2& \leq 0 \end{align}$$]]
Ratkaistaan polynomin [[$ x^3-3x+2 $]] nollakohdat.
Polynomista ei saa yhteistä tekijää eikä muistikaavoista ole nyt apua.
Jos polynomilla on rationaalijuuri [[$ x=\frac{p}{q} $]], niin [[$ p $]] on jokin vakiotermin tekijöistä ja [[$ q $]] on jokin korkeimman asteen termin kertoimen tekijöistä. Vakiotermi on [[$ 2 $]], joten [[$ p=\pm1 $]] tai [[$ \pm2 $]] ja funktion kolmannen asteen termin kerroin on [[$ 1 $]], joten [[$ q=\pm1 $]]. Saadaan neljä juuriehdokasta: [[$ x=\frac{p}{q}=\pm1 $]] tai [[$ \pm2 $]].
Kokeillaan muuttujan [[$ x $]] arvoja 1 ja 2.
[[$$\begin{align}&P(1)&=&1^3-3\cdot1+2&=&0\\&P(2)&=&2^3-3\cdot2+2&=&4\end{align} $$]]
[[$ P(1)=0 $]], joten [[$ x=1 $]] on yhtälön juuri.
[[$ P(2)\neq 0 $]], joten [[$ x=2 $]] ei ole yhtälön juuri.
Koska [[$ P(1)=0 $]], polynomi [[$ x^3-3x+2 $]] on jaollinen binomilla [[$ x-1 $]].
Jaetaan polynomi [[$ x^3-3x+2 $]] binomilla [[$ x-1 $]] jakokulmassa.
(Polynomin jakaminen jakokulmassa Video on kurssin ylimääräistä asiaa, se käydään läpi ensimmäisen luvun Harrastustehtävissä)
Jakolaskun tulos on [[$ x^2+x-2 $]].
Ratkaistaan polynomin [[$ x^2+x-2 $]] nollakohdat.
Nollakohdat ovat [[$ x=1 $]] ja [[$ x=-2 $]]. Huomataan, että [[$ x=1 $]] on kaksoisjuuri.
Kirjoitetaan epäyhtälö tulomuodossa [[$ (x-1)(x-1)(x+2) \leq 0 $]].
Laaditaan merkkikaavio ja ([[$ x-1 $]]) merkitään kaksi kertaa!
Myös nollakohta [[$ x=1 $]] kelpaa ratkaisuun, koska funktio voi saada arvon nolla.
Merkkikaavion perusteella [[$ x^3-3x+2\leq0 $]], kun [[$ x\leq-2 $]] tai [[$ x=1 $]].
Vastaus: [[$ x\leq-2 $]] tai [[$ x=1 $]]
Opetusvideo aiheeseen liittyen löytyy linkin toisesta esimerkistä.
