Ratkaise epäyhtälö [[$ x^4-2x^3+x^2-2x>0 $]]​.

Ratkaisu:
(Huomautus: Älä jaa epäyhtälöä muuttujalla [[$x$]], koska sen merkki ei ole tiedossa. Tällöin pitäisi tarkastella erikseen tapaukset, kun [[$x$]] on positiivinen tai negatiivinen ja tutkia, toteuttaako [[$x=0$]] alkuperäisen epäyhtälön)

Ratkaistaan nollakohdat.
[[$ x^4-2x^3+x^2-2x=0 $]]​

Otetaan yhteinen tekijä kahdesta ensimmäisestä termistä ja kahdesta viimeisestä termistä
[[$$\begin{align}x^3(x-2)+x(x-2)&=0&& \text{otetaan} \ (x-2) \text{ yhteiseksi tekijäksi}\\(x-2)(x^3+x)&=0&& \text{tulon nollasääntö}\\x-2=0 \ \text{tai} \ x^3+x&=0&& \text{otetaan jälkimmäisestä x yhteiseksi tekijäksi}\\x=2 \ \text{tai} \ x(x^2+1)&=0&& \text{tulon nollasääntö}\\x=2 \ \text{tai} \ x=0 \ \text{tai} \ x^2+1&=0\\ x=2 \ \text{tai} \ x=0 \ \text{tai} \ x^2&=-1 \end{align}$$]]
Negatiivisesta luvusta ei voi ottaa neliöjuurta, joten yhtälöllä [[$ x^2=-1 $]]​ ei ole ratkaisua.

Nollakohdat ovat [[$ x=2 $]]​ ja [[$ x=0 $]]​.

Epäyhtälö tulomuodossa on [[$ x(x-2)(x^2+1)>0 $]].​

• [[$ x $]]​ on positiivinen, kun [[$ x>0 $]]

  ---

• [[$ x-2 $]]​ on positiivinen, kun [[$ x>2 $]]

  ---

• [[$ x^2+1 $]]​ saa kaikilla muuttujan[[$ x $]] arvoilla positiivisia arvoja.

  ---

Laaditaan merkkikaavio.


Merkkikaaviosta nähdään, että epäyhtälö toteutuu, kun [[$ x<0 $]]​ tai [[$ x>2 $]]​.

Vastaus: [[$ x<0 $]]​ tai [[$ x>2 $]]