Korkeamman asteen epäyhtälön ratkaiseminen
Korkeamman asteen epäyhtälön ratkaiseminen edellyttää yleensä merkkikaavion piirtämistä.
Korkeamman asteen epäyhtälön ratkaiseminen
- Kaikki termit siirretään epäyhtälömerkin vasemmalle puolelle. Tällöin epäyhtälö saadaan muotoon, jossa oikealla puolella on vain nolla
- Sievennetään epäyhtälö niin pitkälle kuin mahdollista, jolloin saadaan esimerkiksi muoto [[$f(x)<0$]]
- Ratkaistaan funktion [[$f(x)$]] nollakohdat. Jos epäyhtälö on tulomuodossa, esimerkiksi [[$ (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)<0 $]], nollakohtia ovat [[$ x_1, x_2 $]] ja [[$x_3$]]
- Laaditaan merkkikaavio
- Luetaan merkkikaaviosta epäyhtälön ratkaisu
Kertausta:
Astelukua [[$ n $]] olevalla polynomilla on korkeintaan [[$ n $]] reaalista nollakohtaa.Jos asteluku [[$ n $]] ([[$ n \geq 1 $]]) on pariton, niin funktiolla [[$ f(x) $]] on ainakin yksi nollakohta. Jos asteluku [[$ n $]] ([[$ n \geq 2 $]]) on parillinen, niin funktiolla [[$ f(x) $]] ei välttämättä ole reaalista nollakohtaa.
Kolmannen asteen funktiolla on [[$ 1, 2 $]] tai [[$ 3 $]] nollakohtaa. Neljännen asteen funktiolla on [[$ 0, 1, 2, 3 $]] tai [[$ 4 $]] nollakohtaa.
Funktion merkki voi vaihtua ainoastaan silloin, kun ohitetaan nollakohta. Merkki ei välttämättä vaihdu nollakohdassa, jos funktion kuvaaja vain sivuaa [[$ x $]]-akselia nollakohdassa, kuten alla olevassa kuviossa.
| 1. termin merkki | 2. termin merkki | tulo |
|---|---|---|
| [[$+$]] | [[$+$]] | [[$+$]] |
| [[$-$]] | [[$-$]] | [[$+$]] |
| [[$+$]] | [[$-$]] | [[$-$]] |
| [[$-$]] | [[$+$]] | [[$-$]] |
Tulo on negatiivinen, kun negatiivisten tulontekijöiden lukumäärä on pariton. Tulo on positiivinen, kun negatiivisten tulontekijöiden lukumäärä on parillinen.
Esimerkiksi
[[$$ -1\cdot(-1)\cdot(-1)=-1\\-1\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)=1\\-1\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)=-1 $$]]