4.1 Polynomifunktion kulun tutkiminen

412

$f\left(x\right)=4x^3-6x^2+3x$

polynomifunktiot ovat aina jatkuvia

$f'\left(x\right)=12x^2-12x+3$

lasketaan nollakohdat

$x=\frac{1}{2}$

arvot kohdissa 0 ja 1

molemmat positiivisia, funktio on siis monotoninen ja kasvava

kasvava funktio saa saman arvon vain kerran

lasketaan laskimella $f\left(x\right)=2$

$1{,}22112\approx1{,}22$

411

a)

funktio on jatkuva, koska se on polynomifunktio

funktion arvot välin päätepisteissä

$f\left(x\right)=-x^5-x^3-x+1$
$f\left(0\right)=1$
$f\left(1\right)=-2$

koska funktio on jatkuva ja sen päätepisteiden arvot välillä ]0,1[ ovat erimerkkiset, on funktiolla Bolzanon lauseen mukaan ainakin yksi nollakohta
b)

derivoidaan funktio $f\left(x\right)$

$f'\left(x\right)=-5x^4-3x^2-1$

koska $x^4>0$ ja $x^2>0$ , niin $-5x^4-3x^2-1\le-1$

koska derivaattafunktio f' saa aina negatiivisia arvoja, se on laskeva monotoninen funktio

c)

laskeva funktio voi saada saman arvon vain kerran, siispä funktiolla on tasan yksi nollakohta

eli yhtälöllä $-x^5-x^3-x+1=0$ on täsmälleen yksi ratkaisu

402

A2
B1
C2
D3

404

$f\left(x\right)=x^3-12x$
$f'\left(x\right)=3x^2-12$
$f'\left(x\right)=0$
$x=\pm2$

$testikohdiksi\ -3{,}\ 0{,}\ 3$

$f'\left(-3\right)=15$
$f'\left(0\right)=-12$
$f'\left(3\right)=15$

$\begin{matrix} &&-2&&2&\\ f'\left(x\right)&+&&-&&+\\ f\left(x\right)&\nearrow&&\searrow&&\nearrow \end{matrix}$

funktio on kasvava väleillä $x<-2\ tai\ x>2$

funktio on vähenevä välillä $-2<x<2$

409

409

$h\left(x\right)=x^6-2x^5-x^4-2$
$derivoidaan$
$h'\left(x\right)=6x^5-10x^4-4x^3$

Ratkaistaan derivaatan nollakohdat laskimella

$h'\left(x\right)=0$
$6x^5-10x^4-4x^3=0$
$x=-\frac{1}{3}\ tai\ x=0\ tai\ x=2$
lasketaan arvot testipisteissä $-1{,}\ -\frac{1}{6}{,}\ 1{,}\ 3$

$\begin{matrix} &&-\frac{1}{3}&&0&&2&\\ h'\left(x\right)&-&&+&&-&&+\\ h\left(x\right)&\searrow&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow \end{matrix}$

funktio on kasvava väleillä $-\frac{1}{3}<x<0\ ja\ x>2$

funktio on laskeva väleillä $x<-\frac{1}{3}\ ja\ 0<x<2$

määritelmä

funktio f on kasvava jollakin välillä, kun funktion arvo kasvaa muuttujan kasvaessa eli

$f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right){,}\ kun\ x_1<x_2$

funktio f on vähenevä jollain välillä, kun funktion arvo pienenee muuttujan kasvaessa eli

$f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right){,}\ kun\ x_1<x_2$

Jos funktio on kasvava tai vähenevä jollakin välillä, funktio on monotoninen tällä välillä

Lause

jos $f'\left(x\right)>0$ kaikissa välin kohdissa ja $f'\left(x\right)=0$ vain yksittäisissä pisteissä, niin funktio f on kasvava

jos $f'\left(x\right)<0$ kaikissa välin kohdissa ja $f'\left(x\right)=0$ vain yksittäisissä pisteissä, niin funktio f on vähenevä

Toimintaohje:

1. derivoi

2. ratkaise derivaatan nollakohdat

3. hahmottele derivaattafunktion kuvaaja tai laske derivaattafunktion arvot testipisteissä

4. laadi kulkukaavio

5. päättele vastaus kulkukaavion avulla