MAA4P Vektorit

4.2 Taso avaruudessa

Pisteen $A=\left(x_0{,}\ y_0{,}\ z_0\right)$ kautta kulkevan ja vektoria $\overline{n}=a\overline{\text{i}}+b\overline{\text{j}}+c\overline{\text{k}}$ vastaan kohtisuorassa olevan tason

koordinaattiyhtälö on $a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)+c\left(z-z_0\right)=0$

normaalimuotoinen yhtälö on $ax+by+cz+d=0$

Esim. Piste $A=\left(-2{,}3{,}-1\right)$ on tasossa, jonka normaalivektori on $\overline{n}=\overline{\text{i}}+3\overline{\text{j}}-4\overline{\text{k}}$

Muodosta tason yhtälö

$a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)+c\left(z-z_0\right)=0$
$1\cdot\left(x-\left(-2\right)\right)+3\cdot\left(y-3\right)-4\cdot\left(z-\left(-1\right)\right)=0$
$x+2+3y-9-4z-4=0$
$x+3y-4z-11=0$

Esim. Tason yhtälö $3x-2y+z-13=0$

Määritä tasolle normaalivektori

Onko piste (1,1,1) tasossa?

$\overline{n}=3\overline{\text{i}}-2\overline{\text{j}}+\overline{\text{k}}$

sijoitetaan tason yhtälöön piste

$3\cdot1-2\cdot1+1-13=0$
$-11=0$

epätosi

piste ei ole tasossa

3.2 Pistetulo

VEKTOREIDEN PISTETULON TULOS ON LUKU, EI VEKTORI

ESIM

$\overline{a}=3\overline{\text{i}}-7\overline{\text{j}}+14\overline{\text{k}}$
$\overline{b}=\overline{\text{i}}+3\overline{\text{j}}-k$

Laske pistetulo

$\overline{a}\cdot\overline{b}=3\cdot1+\left(-7\right)\cdot3+14\cdot\left(-1\right)=3-21-14=-32$

Pistetulon avulla saadaan vektoreiden välinen kulma

$\cos\left(\overline{a}{,}\ \overline{b}\right)=\frac{\overline{a}\cdot\overline{b}}{\left|\overline{a}\right|\left|\overline{b}\right|}=$

Koska

$\cos90°=0$
, niin vektorit ovat kohtisuorassa täsmälleen silloin kun niiden välinen pistetulo on 0

ESIM

lasketaan vektoreiden välinen kulma

$\overline{a}=3\overline{\text{i}}-7\overline{\text{j}}+14\overline{\text{k}}$
$\overline{b}=\overline{\text{i}}+3\overline{\text{j}}-k$

Pistetulo laskettiin jo edellisessä esimerkissä, -32

lasketaan vektoreiden pituudet

$\left|\overline{a}\right|=\sqrt{3^2+\left(-7\right)^2+14^2}=\sqrt{254}$
$\left|\overline{b}\right|=\sqrt{1^2+3^2+\left(-1\right)^2}=\sqrt{11}$
$\cos\left(\overline{a}{,}\ \overline{b}\right)=\frac{-32}{\sqrt{254}\cdot\sqrt{11}}=-0{,}60539...$
$\cos^{-1}\left(-0{,}60539...\right)=127{,}2570...°\approx127{,}3°$