MAA2 Polynomifunktiot ja yhtälöt

Teksti

403
a)
$x^3=-125\ \parallel\sqrt[3]{}$

$x=\sqrt[3]{-125}$

$-125=-5\cdot\left(-5\right)\cdot\left(-5\right)=\left(-5\right)^3$
$x=-5$
b)
$4x^5=972\ \parallel:4$
$x^5=243\ \parallel\sqrt[5]{}$
$x=3$
c)
$x^3=0\ \parallel\sqrt[3]{}$
$x=0$
d)
$x^8=1\ \parallel\sqrt[8]{}$
$x=1$
e)
$2x^4-2=4800\ \parallel:2$
$x^4-1=2400$
$x^4=2401\parallel\sqrt[4]{}$
$x=7$
f)
$3x^8+123=0$
$3x^8=-123\ \parallel:3$
$x^8=-41\ \parallel\sqrt[8]{}$

negatiivisesta luvusta ei voi ottaa parillista juurta, juurta ei ole

438
a)
$x^4-8x=0$
$x\left(x^3-8\right)=0$
$x=0\ tai$
$x^3-8=0$
$x^3=8\ \parallel\sqrt[3]{}$
$x=2$
b)
$3x^6=30x^3$
$3x^6-30x^3=0$
$3x^3\left(x^3-10\right)=0$
$3x^3=0$
$x=0\ tai\ x^3-10=0$
$x^3=10\ \parallel\sqrt[3]{}$
$x=\sqrt[3]{10}$
c)

$x^4=x^2\left(3-4x\right)$
$x^4+4x^3-3x^2=0$
$x^2\left(x^2+4x-3\right)=0$

tulon nollasääntö
$x^2=0$
tai

$x^2+4x-3=0$
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot1\cdot\left(-3\right)}}{2}=\frac{-4\pm\sqrt{28}}{2}=\frac{-4\pm\sqrt{4+7}}{2}=\frac{-4\pm2\sqrt{7}}{2}=-2+\sqrt{7}\ tai-2-\sqrt{7}$

$x^5-9x^3+x^2-9=0$

jaetaan kahteen ryhmään ja pyritään löytämään yhteinen tekijä

$\left(x^5-9x^3\right)+\left(x^2-9\right)=0$

$x^3\left(x^2-9\right)+\left(x^2-9\right)=0$

löytyi yhteinen tekijä x^2-9

$\left(x^2-9\right)\left(x^3+1\right)=0$

tulon nollasääntö

$x^2-9=0$
$x^2=9\ \parallel\sqrt{ }$
$x=\pm3$

tai

$x^3+1=0$
$x^3=-1\ \parallel\sqrt[3]{}$
$x=-1$

tarkistus geogebralla:

456
$f\left(x\right)=x^3-4x$

selvitetään nollakohdat

$f\left(x\right)=x^3-4x=0$
$x\left(x^2-4\right)=0$
$x=0$

tai

$x^2-4=0$
$x^2=4\ \parallel\sqrt{ }$
$x=\pm2$

nollakohdat on x=-2, x=0 ja x=2

lasketaan funktion arvoja testikohdissa

$f\left(-3\right)=\left(-3\right)^3-4\left(-3\right)=-27+12=-15<0$
$f\left(-1\right)=\left(-1\right)^3-4\left(-1\right)=-1+4=3>0$
$f\left(1\right)=1^3-4\cdot1=1-4=-3<0$
$f\left(3\right)=3^3-4\cdot3=27-12=15>0$

tehdään merkkikaavio

$\begin{array}{l|l} &&-2&&0&&2&\\ \hline x^3-4x&-&&+&&-&&+ \end{array}$
piirretään funktion kuvaaja geogebralla ja varmistetaan tulos

v: funktio saa positiivisia arvoja kun -2<x<0 tai 2<x, negatiivisia arvoja kun x<-2 tai 0<x<2

Teksti

4.3 Korkeamman asteen epäyhtälö

Lause

Polynomifunktion merkki voi vaihtua vain nollakohdassa.

Esim. Tutki milloin funktio $f\left(x\right)=\left(-2x+1\right)\left(x^2-4\right)$ saa positiivisia arvoja

Ratkaistaan nollakohdat

$f\left(x\right)=0$
$\left(-2x+1\right)\left(x^2-4\right)=0$

tulon nollasääntö

$-2x+1=0\$
$-2x=-1\ \parallel:-2$
$x=\frac{1}{2}$

tai

$x^2-4=0$
$x^2=4\ \parallel\sqrt{ }$
$x=\pm2$

tehdään merkkikaavio:

$\begin{array}{l|l} &&-2&&\frac{1}{2}&&2&\\ \hline -2x+1&+&&+&&-&&-\\ x^2-4&+&&-&&-&&+\\ \hline\ (-2x+1)(x^2-4)&+&&-&&+&&- \end{array}$

funktio saa positiivisia arvoja kun f(x)=0, tämä toteutuu kun x<-2 tai 1/2<x<2

$2x^3\le-3x^2-x$

$2x^3+3x^2+x\le0$ ratkaistaan nollakohdat

$2x^3+3x^2+x=0$
$x\left(2x^2+3x+1\right)=0$
$x=0\ tai\ 2x^2+3x+1=0$
$2x^2+3x+1$

toisen asteen yhtälö, voidaan käyttää ratkaisukaavaa

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$x=\frac{-3\pm1}{4}=-\frac{4}{4}=-1\ tai\ -\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}$

nollakohdat on x=0, x=-1/2 ja x=1

tutkitaan funktion merkkiä laskemalla funktion arvoja testikohdissa

$f\left(-2\right)=2\left(-2\right)^3+3\left(-2\right)^2-2=-16+12-2=-6<0$
$f\left(-\frac{3}{4}\right)\approx0{,}094>0$

$f\left(-\frac{1}{4}\right)\approx-0{,}094<0$
$f\left(1\right)=2\cdot1^3+3\cdot1^2+1=6>0$

tehdään merkkikaavio

$\begin{array}{l|l} &&-1&&-\frac{1}{2}&&0&\\ \hline 2x^3+3x^2+x&-&&+&&-&&+ \end{array}$

v: funktio saa pienempiä tai yhtäsuuria arvoja kuin nolla kun $x\le-1\ tai\ -\frac{1}{2}\le x\le0$

Teksti

4.2 Korkeamman asteen polynomifunktio ja yhtälö

Yleinen n. asteen polynomifunktio on muotoa

$f\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_2x^2+a_1x+a_0$

missä $a\ne0$
ja n on positiivinen kokonaisluku

n. asteen polynomifunktiolla on korkeintaan n nollakohtaa
Esim. ratkaise nollakohdat

$f\left(x\right)=2x^3-3x^2$

ratkaistaan yhtälö f(x)=0

$2x^3-3x^2=0$
$x^2\left(2x-3\right)=0$
$x^2=0\ tai$
$2x-3=0$
$2x=3$
$x=1{,}5$

Lauseke x-a on polynomin tekijä kun x=a on polynomin nollakohta

Summan kuution muistikaava

$\left(a+b\right)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

Teksti

4.1 Yleinen potenssifunktio ja juuri

Potenssifunktio on muotoa $f\left(x\right)=x^n{,}\ n=1{,}\ 2{,}\ 3{,}\ ...$

määritelmä

Olkoon a, b ∈ℝ

Luvun a kuutiojuuri

$\sqrt[3]{a}$ on se luku b jonka kolmas potenssi on a, ts. $\sqrt[3]{a}=b\Leftrightarrow b^3=a$

esim.

$\sqrt[3]{27}$

koska

$27=9\cdot3=3\cdot3\cdot3=3^3$ , niin $\sqrt[3]{27}=3$
$\sqrt[3]{-27}=-3$
, koska $\left(-3\right)^3=-27$

Määritelmä

Luvun a n:s juuri $\sqrt[n]{a}$
on

- se ei-negatiivinen reaaliluku b $\sqrt[n]{a}=b$ , jolle $b^n=a$ , kun n parillinen ja $a\ge0$

- se reaaliluku b eli $\sqrt[n]{a}=b$ , jolle $b^n=a$ , kun n on pariton ja a∈ℝ

Esim. Laske

a) $\sqrt[4]{81}$

koska $81=9\cdot9=3\cdot3\cdot3\cdot3=3^4$
$\sqrt[4]{81}=3$

$\sqrt[6]{-25}$

Minkään luvun kuudes potenssi ei ole negatiivinen, joten juurta ei ole olemassa

$\sqrt[5]{-32}$

Koska $-32=\left(-2\right)^5{,}\ niin\ \sqrt[5]{-32}$

myös funktio $f\left(x\right)=x^n{,}\ n=-1{,}\ -2{,}\ -3{,}\ ...$ on potenssifunktio

Määritelmä $x^{-k}=\frac{1}{x^k}{,}\ missä\ x\ne0$
$f\left(x\right)=x^{-3}=\frac{1}{x^3}$

laske f(3) ja f(1/3)

$f\left(3\right)=\frac{1}{3^3}=\frac{1}{27}$
$f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)^3}=\frac{1}{\frac{1}{27}}=1\cdot\frac{27}{1}=27$

Teksti

3.4 Tekijöihin jako nollakohtien avulla

Jos toisen asteen polynomilla $ax^2+bx+c$ on nollakohdat $x=x_1\ ja\ x=x_2$ , niin polynomi voidaan jakaa tekijöihin $ax^2+bx+c=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$

Jos nollakohtia on vain yksi $x=x_1$ , sanotaan sen nollakohdan olevan kaksinkertainen nollakohta ja $ax^2+bx+c=a\left(x-x_1\right)^2$
Jos nollakohtia ei ole, polynomia ei voida jakaa tekijöihin, eli se on jaoton

Teksti

3.3 Diskriminantti

Yhtälön $ax^2+bx+c=0$ ratkaisukaava: $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Toisen asteen yhtälön ratkaisujen lukumäärän kertoo juurrettava eli diskriminantti $D=b^2-4ac$

Jos D<0, niin yhtälöllä ei ole ratkaisua

Jos D=0, niin yhtälöllä on yksi ratkaisu

Jos D>0, niin yhtälöllä on kaksi ratkaisua

Esim.

Kuinka monta ratkaisua on yhtälöllä $-3x^2+5x-1=0$
$D=b^2-4ac=25-4\cdot\left(-3\right)\cdot\left(-1\right)=25-12=13$

koska D>0, niin yhtälöllä on kaksi ratkaisua

Millä parametrin t arvolla yhtälöllä $x^2+2x-t=0$ on yksi ratkaisu

D=0

$D=b^2-4ac=4-4\cdot1\cdot\left(-t\right)$
$4-4\cdot\left(-t\right)=0$
$4+4t=0$
$4=-4t$
$-1=t$

Teksti

1. muunna muotoon ax^2+bx+c@0, jossa @ on epäyhtälömerkki

2. ratkaise nollakohdat

3. hahmottele polynomifunktion kuvaaja

4. päättele ratkaisu

esim. ratkaise $x^2-3x\le0$
2.
$x^2-3x=0$
$x\left(x-3\right)=0$
$x=0\ tai\ x=3$
kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, jolla on kaksi nollakohtaa
3.

4. $x^2-3x\le0{,}\ kun\ 3\le x\ \le0$
vastaus voidaan ilmaista myös
x on välillä [0, 3]
(jos vastaus olisi 0<x<3, niin ]0, 3[)

Teksti

3.1 Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava

Toisen asteen yhtälön $ax^2+bx+c=0$ ratkaisut (eli juuret) saadaan kaavalla $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Ratkaisut ovat siis $x=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ ja $x=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$