4.2 Polynomifunktion ääriarvot

430

derivoidaaan

$-9{,}8x+10$
$=0$
$x=0{,}98$
$testiarvot$
$1=-0{,}02$
$0=10$

kulkukaavio

$\begin{matrix} &&0{,}98&\\ f'\left(x\right)&+&&-\\ f\left(x\right)&\nearrow\ &&\searrow \end{matrix}$

funktion maksimi on kohdassa x=0,98

lasketaan funktion arvo silloin

$h\left(0{,}98\right)=6{,}094...m\approx6{,}1m$

pallo osuu maahan kun funktion arvo on 0

laskimella saadaan tulos $2{,}13634\ s\approx2{,}1s$

429

$f\left(x\right)=-3x^4+4x^3+12x^2$
$f'\left(x\right)=-12x^3+12x^2+24x$
$lasketaan\ nollakohdat$
$f'\left(x\right)=0$
$x=-1\ tai\ x=0\ tai\ x=2$
$lasketaan\ arvot\ testikohdissa$

$\begin{matrix} &&-1&&0&&2&\\ f'\left(x\right)&+&&-&&+&&-\\ f\left(x\right)&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&&\searrow \end{matrix}$

mikä on funktion pienin arvo välillä [-1,1]

välillä on yksi lokaali minimi, x=0

funktion minimiarvo välillä on joko lokaali minimiarvo tai välin päätepiste

lasketaan funktion arvo kaikissa kolmessa pisteessä

$f\left(-1\right)=5$
$f\left(0\right)=0$
$f\left(1\right)=13$

arvojen keskinäinen vertailu osoittaa pienimmän arvon olevan 0, kun x=0

b) välillä [-2,3]

lokaali minimi x=0, funktion arvo silloin nolla

lasketaan arvot välin päätepisteille

$f\left(-2\right)=-32$
$f\left(3\right)=-27$

arvojen keskinäinen vertailu osoittaa pienimmän arvon olevan -32, kun x=-2

428

$f\left(x\right)=-0{,}0074x^2+0{,}059x+999{,}86$

$f'\left(x\right)=-0{,}0148x+0{,}059$

etsitään mahdolliset nollakohdat

$x=3.986486486...$

kulkukaavio

testikohdat 3 ja 4

$f\left(3\right)>0$
$f\left(4\right)<0$

$\begin{matrix} &&3{,}986...&\\ f'\left(x\right)&+&&-\\ f\left(x\right)&\nearrow&&\searrow \end{matrix}$

funktion globaali maksimi on kohdassa $x=3{,}986...$

se on tarkasteluvälillä [0,20]

lasketaan funktion arvo derivaattafunktion nollakohdassa

$f\left(3{,}986...\right)=999{,}978\ \frac{g}{dm^3}\approx1000{,}0\ \frac{g}{dm^3}$

ja se saavutetaan lämpötilassa

$4{,}0°C$

426

a)
$f\left(x\right)=2x^3-5x^2-4x+2$
$f'\left(x\right)=6x^2-10x-4$
$nollakohdat\ x=-\frac{1}{3}\ tai\ x=2$
$arvot\ testikohdissa\ -1{,}\ 0{,}\ 3$
$f'\left(-1\right)=12>0$
$f'\left(0\right)=-4<0$
$f'\left(3\right)=20>0$
$muodostetaan\ kulkukaavio$

$\begin{matrix} &&-\frac{1}{3}&&2&\\ f'\left(x\right)&+&&-&&+\\ f\left(x\right)&\nearrow&&\searrow&&\nearrow \end{matrix}$

funktion ääriarvokohdat ovat $x=-\frac{1}{3}\ ja\ x=2$

arvot ääriarvokohdissa ovat

$f\left(-\frac{1}{3}\right)=2{,}7037...$

paikallinen maksimi
$f\left(x\right)=-10$

paikallinen minimi

funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa tietyllä välillä

joko ääriarvokohdissa, joiden arvot olemme jo selvittäneet, tai välin päätepisteissä

välillä [-2,3] ne ovat $x=-2\ ja\ x=3$

lasketaan funktion arvot välin päätepisteissä

$f\left(-2\right)=-26$
$f\left(3\right)=-1$
funktion pienin arvo välillä on -26

funktion suurin arvo välillä on 2,7037...

435

$f\left(x\right)=3x^4-16x^3+18x^2+28$
derivoidaan

$f'\left(x\right)=12x^3-48x^2+36x$

lasketaan nollakohdat

$x=0{,}\ x=1\ tai\ x=3$

arvot testikohdissa -1, 1/2, 2, 4

$\begin{matrix} &&0&&1&&3&\\ f'\left(x\right)&-&&+&&-&&+\\ f\left(x\right)&\searrow&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow\\ &&\min&&\max&&\min& \end{matrix}$

paikalliset ääriarvokohdat:
minimiarvot x=0 ja x=3, jotka ovat 28 ja 1
maksimiarvo x=1, joka on 33

funktiolla ei ole globaalia maksimia, koska funktio on kasvava kun x > 3
funktion toinen paikallinen minimiarvo on myös funktion globaali minimi, x=3, jossa funktion arvo on 1
funktiolla ei ole nollakohtia, globaali minimi on suurempaa kuin 0

422

a)
suurin arvo
x=1 tai x=7
pienin arvo
x=-1 tai x=3 tai x=10
b)
suurin arvo
x=0 tai x=5
pienin arvo
x=-7 tai x=2

määritelmä

Polynomifunktion ääriarvot

Lause
Jatkuvalla funktiolla f on suurin ja pienin arvo suljetulla välillä [a,b]
Jos funktio f on lisäksi derivoituva välillä ]a,b[, niin suurin ja pienin arvo saavutetaan
1) välin päätepisteessä
tai
2) välille kuuluvassa derivaattafunktion nollakohdassa