1.2 Rationaaliyhtälö ja -epäyhtälö

124

$määrittelyehto:\ x-3\ne0$
$x\ne3$

$nollakohdat:\ 4-x^2=0$

$x^2=4$

$x=-2\ tai\ 2$

merkkikaavio:

$\begin{matrix} &&-2&&2&&3&\\ 4-x^2&-&&+&&-&&-\\ x-3&-&&-&&-&&+\\ \frac{4-x^2}{x-3}&+&&-&&+&&- \end{matrix}$
$f\left(x\right)\ on\ positiivinen\ kun\ x<-2\ tai\ 2<x<3$

135

a) tosi, etumerkin muutos voi tapahtua myös määrittelemättömän kohdan eri puolilla
b) epätosi, nollakohdassa y=0

133

$\frac{1}{x^2}+x>0$
$\frac{x+1}{x^2+1}>0$
$\frac{1}{x}>0$
$määrittelyehto:\ x\ne0$
$nollakohtia\ ei\ ole$

merkkikaavio

$\begin{matrix} &&0&\\ 1&+&&+\\ x&-&&+\\ \frac{1}{x}&-&&+ \end{matrix}$

$\frac{1}{x^2}+x>0{,}\ kun\ x>0$

131

a)
$f\left(x\right)=\frac{1}{x-1}$
b)
$f\left(x\right)=\frac{x-2}{x-1}$

129

a)
$määrittelyehto:\ x^2-4\ne0$
$x^2\ne4$
$x\ne2\ tai\ x\ne-2$
$nollakohdat:\ 3x-6=0$
$3x=6$

$x=2{,}\ sivuutetaan\ koska\ määrittelyehto$

$merkkikaavio$

$\begin{matrix} &&-2&&2&\\ x^2-4&+&&-&&+\\ 3x-6&-&&-&&+\\ \frac{3x-6}{x^2-4}&-&&+&&+ \end{matrix}$

$piirretään\ kuvaaja$

b)
$määrittelyehto:\ 1-2x\ne0$
$x\ne\frac{1}{2}$

muokataan epäyhtälöä

$\frac{x}{1-2x}<1$
$\frac{x}{1-2x}-\frac{1-2x}{1-2x}<0$
$\frac{x-\left(1-2x\right)}{1-2x}<0$
$\frac{3x-1}{1-2x}<0$
nollakohdat:
$3x-1=0$
$x=\frac{1}{3}$

merkkikaaviolol:

$\begin{matrix} &&\frac{1}{2}&&\frac{1}{3}&\\ 3x-1&-&&-&&+\\ 1-2x&+&&-&&-\\ \frac{3x-1}{1-2x}&-&&+&&- \end{matrix}$
$\frac{x}{1-2x}<1{,}\ kun\ x<\frac{1}{2}tai\ x>\frac{1}{3}$

125

a)
$\frac{7x-3}{2x+3}=0$
$7x-3=0{,}\ x\ne-\frac{3}{2}$
$x=\frac{7}{3}$
b)
$\frac{x^2-1}{1-x}=0$
$x^2-1=0{,}\ x\ne1$
$x^2=1$
$x=1\ tai\ -1$
$x=-1{,}\ koska\ x\ne1$

123

$f\left(x\right)=\frac{1-x}{x-2}$

määrittelyehto: $x\ne2$

nollakohta: $1-x=0$
$-x=-1$
$x=1$

$\begin{matrix} &&1&&2&\\ 1-x&+&&-&&-\\ x-2&-&&-&&+\\ \frac{1-x}{x-2}&-&&+&&- \end{matrix}$
c)
$funktion\ arvo\ on\ positiivinen\ välillä\ 1<x<2$
$funktion\ arvo\ on\ negatiivinen\ kun\ x<1\ tai\ 2<x$

d)

122

a)
$määrittelyehto:\ x\ne-3$
$nollakohta:$
$3x-5=0$
$3x=5$
$x=\frac{3}{5}$
b)

$funktio\ on\ positiivinen\ kun\ x>\frac{5}{3}$

$funktio\ on\ negatiivinen\ kun\ x<\ \frac{5}{3}$