5.2 Rationaalifunktion ääriarvot

530

tangentti on suoran suuntainen kun derivaattafunktion arvo tangentin kohdassa on sama kuin suoran kulmakerroin
suoran kulmakerroin on -8
derivaattafunktion arvonkin on siis oltava -8
derivoidaan funktio
$f\left(x\right)=\frac{2}{x}$
$f'\left(x\right)=-2x^{-2}$

derivaattafunktio saa arvon -8 kohdassa x=1/4

531

$f\left(x\right)=\frac{x+1}{x^2+3}$

derivoidaan funktio

$f'\left(x\right)=\frac{-x^2+2x+3}{x^4+9}$

lasketaan nollakohdat

$-x^2+2x+3=0$
$x=-1\ tai\ x=3$

lasketaan derivaattafunktion arvot testikohdissa

$f'\left(-2\right)<0$
$f'\left(0\right)>0$
$f'\left(4\right)<0$

piirretään kulkukaavio

$\begin{matrix} &&-1&&3&\\ f'\left(x\right)&-&&+&&-\\ f\left(x\right)&\searrow&&\nearrow&&\searrow\\ &&\min&&\max& \end{matrix}$

funktion paikallinen minimiarvo saadaan kohdassa $x=-1$

$f\left(-1\right)=0$

funktion paikallinen maksimiarvo saadaan kohdassa $x=3$

$f\left(3\right)=\frac{1}{3}$

525

$f\left(x\right)=\frac{x^2+3}{x-1}{,}\ x\ne1$

derivoidaan funktio

$f'\left(x\right)=\frac{2x^2-2x-x^2+3}{\left(x-1\right)^2}=\frac{x^2-2x+3}{\left(x-1\right)^2}$

rtkaistaan funktion nollakohdat

$x^2-2x+3=0$
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{2\pm\sqrt{8}}{2}=\sqrt{2}+1\ tai\ -\left(\sqrt{2}-1\right)$

lasketaan funktion arvot testikohdissa

kaikki ovat positiivisia, funktio kasvaa siis väleillä $x<1\ ja\ x>1$

b) koska funktio on koko määrittelyjoukollaan kasvava, ääriarvoja ei voida määrittää

koska funktio on kasvava koko välillä [2,4], se saa pienimmän arvonsa kohdassa x=2

funktion arvo kohdassa on 7

524

$f\left(x\right)=\frac{3}{x}-\frac{2}{x^2}{,}\ x\ne0$
derivoidaan funktio
$f'\left(x\right)=-\frac{3}{x^2}+\frac{4}{x^3}$

funktio on jatkuva koko välillä [1,2]
ratkaistaan derivaattafunktion nollakohdat
$x=\frac{4}{3}$
lasketaan funktion arvot välin päätepisteissä sekä derivaattafunktion nollakohdassa
pisteitä keskenään vertailemalla saadaan suurin ja pienin arvo
$g\left(1\right)=1$
$g\left(\frac{4}{3}\right)=0$

$g\left(2\right)=-\frac{1}{4}$

arvoja keskenään vertailemalla huomataan suurimman arvon olevan 1 ja pienimmän arvon olevan -1/4

523

$f\left(x\right)=\frac{x+2}{x^2}{,}\ x\ne0$
$f'\left(x\right)=\frac{x^2-x\left(x+2\right)}{x^4}=\frac{2x}{x^4}$
$lasketaan\ nollakohdat$
$\frac{2x}{x^4}=0$
$2x=0$

$x=0$

funktiota ei ole määritelty kohdassa 0

lasketaan testiarvot

f'(-1) ja f'(1)

$\begin{matrix} &&0&\\ f'\left(x\right)&-&&+\\ f\left(x\right)&\searrow&&\nearrow \end{matrix}$

ääriarvokohtia on yksi, x=0

funktiota ei kuitenkaan ole määritelty kohdassa

funktiolla ei siis ole ääriarvokohtia