2.3 Funktion jatkuvuus

254

a) tosi, bolzanon säännön mukaan jos välin päätepisteiden raja-arvot ovat erimerkkiset ja funktio on jatkuva, sillä on ainakin yksi nollakohta
b) epätosi, välillä voisi olla vaikkapa neljä nollakohtaa
c) tosi, väleillä ]1,2[ ja ]2,3[

256

$f\left(x\right)=x^4-x-3$

koska funktio on polynomifunktio, se on aina jatkuva

kokeillaan bolzanon sääntöä välille ]0,2[

$f\left(0\right)=-3\ <0$
$f\left(2\right)=16-2-3=11>0$

välin päätepisteissä funktion arvot ovat erimerkkiset ja funktio on jatkuva välillä, funktiolla on siis Bolzanon säännön mukaan olemassa nollakohta välillä ]0,2[

252

a)
$f\left(x\right)=\begin{cases} \frac{25-x^2}{5-x}{,}&kun\ x<5\\ 3x-5{,}&kun\ x\ge5 \end{cases}$

$f\left(5\right)=15-5=10$
$\lim_{x\rightarrow5-}f\left(x\right)=\frac{0}{0}{,}\ lauseketta\ pitää\ sieventää$
$\frac{25-x^2}{5-x}=\frac{\left(5-x\right)\left(5+x\right)}{5-x}=5+x$
$\lim_{x\rightarrow5-}=10$
$\lim_{x\rightarrow5+}=10$
$koska\ \lim_{x\rightarrow5-}=\lim_{x\rightarrow5+}=10{,}\ \lim_{x\rightarrow5}=10$

funktion arvo on yhtäsuuri kuin funktion raja-arvo kohdassa x=5, joten funktio on jatkuva

b)
$f\left(x\right)=\begin{cases} \frac{x^3-5}{x^2+1}{,}&kun\ x\ne5\\ 12&kun\ x=5 \end{cases}$
$f\left(5\right)=12$

$\lim_{x\rightarrow5}=\frac{120}{26}=\frac{60}{13}\approx4{,}651...\ne12$

funktio ei ole jatkuva kohdassa, raja-arvo on erisuuri kuin funktion arvo

248

$f\left(x\right)=\begin{cases} -2x+1{,}&kun\ x\le1\\ x-1&kun\ x>1 \end{cases}$
a)

$f\left(1\right)=-2\left(1\right)+1=-1$
b)
$\lim_{x\rightarrow1}f\left(x\right)$
$\lim_{x\rightarrow1-}f\left(x\right)=-1$

$\lim_{x\rightarrow1+}f\left(x\right)=0$

funktion toispuoleiset raja-arvot ovat erisuuret, funktiolla ei siis ole $\lim_{x\rightarrow1}f\left(x\right)$
c)
funktio ei ole jatkuva kohdassa x=1, sillä funktiolla ei ole kohdassa raja-arvoa

247

a) ei ole, funktiolla ei ole raja-arvoa
b) ei ole, funktion raja-arvo on erisuuri kuin funktion arvo
b) on, kohdassa funktion raja-arvo on yhtäsuuri kuin funktion arvo

246

a)
on määritelty, f(2)=1
b)
on raja-arvo, $\lim_{x\rightarrow2}f\left(x\right)=1$
c) funktio on jatkuva, koska sen raja-arvo on kaikissa kohdissa sama kuin funktion arvo

262

$f\left(x\right)=\frac{x^3-3x+1}{x^3-8}{,}\ x\ne2$

funktiolla on ainakin yksi nollakohta välillä ]0,3[

Bolzanon lauseen mukaan nollakohta on, jos funktio on jatkuva välillä [0,3]

sitä ei voida käyttää, koska funktio ei ole jatkuva kohdassa x=2

koska rationaalifunktio on jatkuva määrittelyjoukossaan, kokeillaan nollakohdan etsimistä välillä ]0,1[, joka on jatkuva

lasketaan funktion arvot välien päätepisteissä

$f\left(0\right)=\frac{1}{-8}=-\frac{1}{8}\ \ \ >0$
$f\left(1\right)=\frac{1-3+1}{1-8}=\frac{1}{7}\ \ <0$

välin päätepisteissä funktion arvot ovat erimerkkiset, funktiolla on siis nollakohta

257

b)
jotta funktio on jatkuva kohdassa x=1, sen raja-arvon kohdassa on oltava sama kuin funktion arvo

$f\left(x\right)=\begin{cases} 3-x^2{,}&kun\ x<1\\ x+a&kun\ x\ge1 \end{cases}$

funktion arvo kun x=1 $1+a$

toispuoleisten raja-arvojen on oltava yhtäsuuret:
$3-x^2=3-1=2$
siis 1+a on oltava myös 2
$1+a=2$
$a=1$