3. Potenssin potenssi
Tehtävät
Määritelmä
Merkinnällä [[$ (3^2)^4 $]] tarkoitetaan potenssin potenssia. Eksponenttina on luku 4 ja kantalukuna
on sulkeiden sisältö eli [[$3^2$]]. Käsitellään kantalukuna olevaa potenssia samoin kuin yksittäistä
lukuakin. Potenssimerkintä voidaan kirjoittaa muodossa
[[$ (3^2)^4 = \underbrace{3^2 \cdot 3^2 \cdot 3^2 \cdot 3^2}_{\text{Kyseessä on ennestään tuttu samankantaisten potenssien tulo.}} = 3 \overbrace{^{2+2+2+2}}^{=2 \cdot 4} =3^8 $]]
on sulkeiden sisältö eli [[$3^2$]]. Käsitellään kantalukuna olevaa potenssia samoin kuin yksittäistä
lukuakin. Potenssimerkintä voidaan kirjoittaa muodossa
[[$ (3^2)^4 = \underbrace{3^2 \cdot 3^2 \cdot 3^2 \cdot 3^2}_{\text{Kyseessä on ennestään tuttu samankantaisten potenssien tulo.}} = 3 \overbrace{^{2+2+2+2}}^{=2 \cdot 4} =3^8 $]]
Potenssin potenssi
Potenssi korotetaan potenssiin siten, että eksponentit kerrotaan keskenään. Kantaluku pysyy samana.
[[$ \left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}$]]Esimerkkejä
Esimerkki 1
Sievennetään potenssit.| a) | [[$ (2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6 = 64 $]] | |
| b) | [[$ 16(a^2)^2 = 16 \cdot a^{2 \cdot 2} = 16a^4 $]] | Ainoastaan [[$a^2$]] on potenssin kantaluku. |
| c) | [[$ 2^{3^2} = 2^9 =512 $]] | Kyseessä ei ole potenssin potenssi! |
Esimerkki 2
Mihin potenssiin luku [[$3$]] on korotettava, jotta vastaus olisi yhtä suuri kuin luku [[$ 9^5 $]]? Eli mikäluku sopii x:n paikalle: [[$ 3^x = 9^5 $]]?
Ratkaisu:
Potenssin [[$ 9^5 $]] kantalukuna on [[$9$]], joka saadaan luvun kolme potenssina seuraavasti: [[$ 3^2 = 9 $]]. Sijoittamalla tämä yhdeksikön paikalle ja sieventämällä saadaan [[$ 9^5 = (3^2)^5 = 3^{2\cdot 5} = 3^{10} $]].
Vastaus: Luku [[$3$]] on korotettava potenssiin [[$10$]].