Osamäärää [[$ \dfrac{4^5}{4^2} $]] kutsutaan samankantaisten potenssien osamääräksi.

Samankantaisten potenssien osamäärä

Samankantaiset potenssit jaetaan keskenään siten, että osoittajan eksponentista vähennetään nimittäjän eksponentti. Kantaluku pysyy samana.

[[$ \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$]]

Esimerkki 1

Sievennetään potenssit.

a) [[$ \dfrac{2^6}{2^3} = 2^{6-3} = 2^3 = 8 $]]

b) [[$ \dfrac{(-4)^7}{(-4)^5} = (-4)^{7-5} = (-4)^2 = 16 $]]

c) [[$ \dfrac{y^7}{y^3} = y^{7-3} = y^4 $]]

d) [[$ \dfrac{a^3 \cdot a^4 \cdot a^6}{a^2 \cdot a^5} = \dfrac{a^{3+4+6}}{a^{2+5}} = \dfrac{a^{13}}{a^7} = a^{13-7} = a^6 $]]

Myös samankantaisien potenssien osamäärässä on usein mukana muitakin tekijöitä, joten on
syytä olla tarkkana kantaluvun kanssa.

Esimerkki 2

Sievennetään potenssit.

a) [[$ \dfrac{3x^4}{x} = 3x^{4-1} = 3x^3 $]]

b) [[$ \dfrac{-3^8}{3^5} = -3^{8-5} = -3^3 = -27 $]]

c) [[$ \dfrac{6a^4b^2}{3ab} = \dfrac{6}{3}a^{4-1}b^{2-1} = 2a^3b^1 = 2a^3b $]]

Jaetaan luvut keskenään ja yhdistetään samankantaiset potenssit.

Nolla eksponenttina

Tarkastellaan seuraavaksi jakolaskua [[$ \dfrac{4^3}{4^3} $]] kahdella eri tavalla. Sievennetään lauseke
samankantaisten potenssien osamäärän avulla sekä supistamalla.

Koska molemmat toimenpiteet ovat sallittuja, on lopputuloksien oltava yhtä suuret eli [[$ 4^0 = 1 $]].

Nolla eksponenttina

Jos eksponenttina on nolla, on potenssin arvo aina 1. Kantalukuna ei kuitenkaan saa olla nolla.

[[$ a^0 = 1 \text{, kun } a \neq 0. $]]

Esimerkki 3

Sievennetään potenssit.

a) [[$ 99^0 = 1 $]]

b) [[$ -45^0 = -1 $]]

c) [[$ 0^0 $]] ei voida laskea

d) [[$ \dfrac{a^3 \cdot a^9}{a^{12}} = \dfrac{a^{3+9}}{a^{12}} = \dfrac{a^{12}}{a^{12}} = a^{12-12} =a^0 = 1 $]]