Taulukko-osio

Reaalilukujen laskulait

[[$ a+b=b+a,\quad ab=ba $]]	vaihdantalaki
[[$ a +(b+c) = (a+b)+c, \quad a(bc)=(ab)c \quad $]]	liitäntälaki
[[$ a(b+c)=ab+ac $]]	osittelulaki
[[$ a+(-a)=0 $]]	luvun a vastaluku –a
[[$ a \cdot \dfrac{1}{a}=1 $]]	luvun a käänteisluku [[$ \dfrac{1}{a} \quad (a \neq 0) $]]
[[$ \|a\| $]]	itseisarvo Graafinen tulkinta: [[$ \|a\| $]] = luvun a vastinpisteiden etäisyys nollasta

Murtolukujen laskutoimitukset

[[$ \dfrac{a}{b} = \dfrac{ka}{kb} \text{, missä } k \neq 0 \quad $]]	laventaminen (→) ja supistaminen (←)
[[$ \dfrac{a}{b} +\dfrac{c}{d} = \dfrac{ad+bc}{bd} $]]	yhteenlasku (lavennus samannimisiksi)
[[$ \dfrac{a}{b} -\dfrac{c}{d} = \dfrac{ad-bc}{bd} $]]	vähennyslasku (lavennus samannimisiksi)
[[$ \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd} $]]	kertolasku
[[$ \dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad}{bc} $]]	jakolasku

Potenssi

[[$ a^n = a \cdot a \cdot ... \cdot a $]]	n tekijää, a = kantaluku, n = eksponentti
[[$ a^0 = 1 $]]	[[$ a \neq 0$]], [[$0^0 $]] ei määritelty
[[$ a^{-p} = \dfrac{1}{a^p} $]]	[[$ a \neq 0 $]]
[[$ \left( \dfrac{a}{b} \right)^{-p} = \left( \dfrac{b}{a}\right)^{p} $]]	[[$ a \neq 0 $]]

Laskusääntöjä

[[$ a^ma^n = a^{m+n} $]]	samankantaisten potenssien tulo
[[$ \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $]]	samankantaisten potenssien osamäärä
[[$ (ab)^n = a^nb^n $]]	tulon potenssi
[[$ \left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$]]	osamäärän potenssi
[[$ (a^m)^n = a^{mn} = (a^n)^m $]]	potenssin potenssi

Polynomin jakaminen tekijöihin

[[$ ab + ac = a(b + c) $]]	yhteinen tekijä
[[$ ac + ad + bc + bd = a(c + d) + b(c + d) = (a + b)(c + d) $]]	ryhmittely
[[$ a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2 $]] [[$ a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2 $]] [[$ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $]]	muistikaavat

Neliöjuuri

Jos [[$ \sqrt{a} = b$]], niin [[$ b^2 =a $]] ja [[$ b\geq 0$]] (pätee myös toisinpäin).

Laskusääntöjä

[[$ (\sqrt{a})^2 = a$]]

[[$ \sqrt{a^2} = |a|$]]

[[$ \sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$]]

[[$ \sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$]]

Lukujonot

Aritmeettinen lukujono

[[$d=a_2 -a_1$]]	erotusluku
[[$a_n = a_1 +(n-1)d$]]	yleinen termi

Geometrinen lukujono

[[$ q = \dfrac{a_2}{a_1}$]]	suhdeluku
[[$ a_n =a_1q^{n-1} $]]	yleinen termi

Toisen asteen yhtälö

Normaalimuoto

[[$ ax^2+bx+c=0, \quad a\neq 1 $]]

Ratkaisukaava: [[$ \quad x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $]]

Paraabelin aukamissuunta ja muoto:

Jos [[$ a > 0 $]], paraabeli aukeaa ylöspäin.
Jos [[$ a < 0 $]], paraabeli aukeaa alaspäin.
Jos [[$ |a| $]] on pieni, paraabeli on leveä.
Jos [[$ |a| $]] on suuri, paraabeli on kapea.

Vaillinaiset toisen asteen yhtälöt

Yhtälön [[$ ax^2 + c = 0 $]] ratkaisujen määrä riippuu vakiosta [[$c$]]:

[[$c < 0$]]: kaksi ratkaisua, ratkaisut toistensa vastalukuja
[[$c= 0$]]: ainoa ratkaisu [[$x = 0$]]
[[$c > 0$]]: ei ratkaisua

Yhtälön [[$ ax^2 + bx = 0 $]] ratkaisut:

aina kaksi ratkaisua, toinen on aina [[$x = 0$]].

Suorakulmaisen kolmion trigonometria

[[$ a^2 + b^2 = c^2 $]] (Pythagoraan lause)

[[$ A = \dfrac{1}{2}ab $]]

Trigonometriset funktiot

[[$ \text{sin} \space \alpha = \dfrac{a}{c}, \text{cos}\space\alpha = \dfrac{b}{c}, \text{tan} \space \alpha = \dfrac{a}{b} $]]

Suora

Pisteiden [[$x_1, y_1 $]] ja [[$x_2, y_2 $]] kautta kulkevan suoran kulmakerroin:

[[$ k = \text{tan} \space \alpha = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $]]

Suora on

nouseva, jos [[$ k > 0 $]]
laskeva, jos [[$ k < 0 $]]
[[$x$]]-akselin suuntainen, jos [[$k = 0 $]]
[[$y$]]-akselin suuntainen, jos [[$k$]]:ta ei voida määrittää.

Tarkastellaan suoria [[$s_1$]] ja [[$s_2$]], joiden kulmakertoimet ovat [[$k_1$]] ja [[$k_2$]].

Suorat ovat yhdensuuntaiset eli [[$s_1||s_2$]], jos [[$k_1=k_2$]] tai suorat ovat [[$y$]]-akselin suuntaiset.
Suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli [[$s_1 \perp s_2$]], jos [[$k_1 \cdot k_2 = -1$]] tai toinen suora on [[$x$]]-akselin ja toinen [[$y$]]-akselin suuntainen.

Suoran yhtälön yleinen muoto:
[[$ax + by + c = 0$]]

Suoran yhtälön ratkaistu muoto:
[[$y = kx + b$]], missä [[$k$]] on kulmakerroin ja [[$b$]] vakiotermi (suoran ja [[$y$]]-akselin leikkauspisteen [[$y$]]-koordinaatti).

[[$x$]]-akselin suuntaisen suoran yhtälö:
[[$y = t$]], missä [[$t$]] on suoran ja [[$y$]]-akselin leikkauspisteen [[$y$]]-koordinaatti

[[$y$]]-akselin suuntaisen suoran yhtälö:
[[$x = u$]], missä [[$u$]] on suoran ja [[$x$]]-akselin leikkauspisteen [[$x$]]-koordinaatti

Tasokuvioita

Neliö

[[$ \qquad A =a^2 $]]
[[$ \qquad d = \sqrt {2}a $]]

Suorakulmio

[[$ \qquad A =ab $]]
[[$ \qquad d = \sqrt{a^2+b^2} $]]

Neljäkäs

[[$ \qquad A =ah $]]

Suunnikas

[[$ \qquad A = ah = ab \space \text{sin} \space \alpha $]]

Puolisuunnikas

[[$ \qquad A = \dfrac{1}{2}(a+b)h = \dfrac{1}{2}(a+b)s \space \text{sin} \space \alpha $]]

Kolmio

[[$ \qquad A= \dfrac{1}{2}ah = \dfrac{1}{2}ab \text{ sin } \alpha $]]

Ympyrä

[[$ \qquad A = \pi r^2 = \dfrac{1}{4} \pi d^2 $]]
[[$ \qquad p = 2 \pi r = \pi d $]]

Sektori

[[$ \qquad b = \dfrac{\alpha}{360°} 2\pi r $]] (kaaren pituus)
[[$ \qquad A = \dfrac{\alpha}{360°} \pi r^2 = \dfrac{br}{2} $]]

Avaruuskappaleita

Kuutio

[[$ \qquad a = s\sqrt{2} $]]
[[$ \qquad d = s\sqrt{3} $]]
[[$ \qquad A=6s^2 $]]
[[$ \qquad V= s^3 $]]

Suorakulmainen särmiö

[[$ \qquad d = \sqrt{a^2+b^2+c^2} $]]
[[$ \qquad A = 2(ab+ac+bc) $]]
[[$ \qquad V=abc $]]

Suora ympyräkartio

[[$ \qquad A_v = \pi rs $]]
[[$ \qquad V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h $]]

Suora ympyrälieriö

[[$ \qquad A_v = 2 \pi rh $]]
[[$ \qquad A_{kok} = A_v + 2\pi r^2 = 2 \pi r(r+h) $]]
[[$ \qquad V = \pi r^2 h $]]

Pallo

[[$ \qquad A = 4 \pi r^2 $]]
[[$ \qquad V = \dfrac{4}{3} \pi r^3 $]]

[[$ \pi$]]:n likiarvo 500 ensimmäisen desimaalin tarkkuudella

[[$ 3, 14159 \quad 26535 \quad 89793 \quad 23846 \quad 26433 \quad 83279 \quad 50288 \quad 41971 \quad 69399 \quad 37510 \quad 58209 \quad 74944 \quad 59230 \quad 78164 \quad 06286 \quad 20899 \quad 86280 \quad 34825 \quad 34211 \quad 70679 \quad 82148 \quad 08651 \quad 32823 \quad 06647 \quad 09384 \quad 46095 \quad 50582 \quad 23172 \quad 53594 \quad 08128 \quad 48111 \quad 74502 \quad 84102 \quad 70193 \quad 85211 \quad 05559 \quad 64462 \quad 29489 \quad 54930 \quad 38196 \quad 44288 \quad 10975 \quad 66593 \quad 34461 \quad 28475 \quad 64823 \quad 37867 \quad 83165 \quad 27120 \quad 19091 \quad 45648 \quad 56692 \quad 34603 \quad 48610 \quad 45432 \quad 66482 \quad 13393 \quad 60726 \quad 02491 \quad 41273 \quad 72458 \quad 70066 \quad 06315 \quad 58817 \quad 48815 \quad 20920 \quad 96282 \quad 92540 \quad 91715 \quad 36436 \quad 78925 \quad 90360 \quad 01133 \quad 05305 \quad 48820 \quad 46652 \quad 13841 \quad 46951 \quad 94151 \quad 16094 \quad 33057 \quad 27036 \quad 57595 \quad 91953 \quad 09218 \quad 61173 \quad 81932 \quad 61179 \quad 31051 \quad 18548 \quad 07446 \quad 23799 \quad 62749 \quad 56735 \quad 18857 \quad 52724 \quad 89122 \quad 79381 \quad 83011 \quad 94912 $]]

Tilastomatematiikka

Keskilukuja

keskiarvo	[[$ \bar{x} = \dfrac{x_1+x_2+x_3+...+x_n}{n} $]]
painotettu keskiarvo	[[$ \bar{x} = \dfrac{q_1x_1+q_2x_2+...+q_nx_n}{q_1+q_2+...+q_n} $]], missä [[$ q_1, q_2,...,q_n $]] ovat painokertoimia.

Moodi eli tyyppiarvo tarkoittaa yleisintä, useimmin esiintyvää muuttujan arvoa.

Mediaani tarkoittaa keskimmäistä arvoa (tai kahden keskimmäisen arvon keskiarvoa), kun aineisto on järjestetty suuruusjärjestykseen.

Hajontalukuja

Keskihajonta ilmoittaa, kuinka kaukana muuttujan arvot ovat keskimäärin keskiarvosta.

Vaihteluväli kertoo millä välillä havainnot vaihtelevat.

Vaihteluvälin pituus on muuttujan suurimman ja pienimmän arvon erotus.

Todennäköisyyslaskenta

Klassinen todennäköisyys	[[$ P(A)=\dfrac{\text{suotuisten tapausten lukumäärä}}{\text{kaikkien tapausten lukumäärä}} $]]
Vastatapahtuman todennäköisyys	[[$ P(\bar{A}) = P(A \text{ ei tapahdu)} = 1-P(A) $]]

Yhteenlaskusääntö

Kun A ja B erillisiä tapauksia	[[$ P(A \text{ tai } B) = P(A) + P(B) $]]
Kun A ja B eivät ole erillisiä	[[$ P(A \text{ tai } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ ja } B)$]]

Kertolaskusääntö

Kun A ja B ovat riippumattomia	[[$ P(A \text{ ja } B) = P(A) \cdot P(B) $]]
Kun A ja B ovat riippuvia (yleinen kertosääntö)	[[$P(\text{ensin } A \text{ ja sitten }B) = P(A) \cdot P(B, \text{kun A} \text{ on tapahtunut})$]]

SI-järjestelmä

Kerrannaisyksiköiden etuliitteet
Nimi	Tunnus	Kerroin	Nimi	Tunnus	Kerroin
eksa	E	[[$ 10^{18}$]]	desi	d	[[$10^{-1}$]]
peta	P	[[$ 10^{15}$]]	sentti	c	[[$10^{-2}$]]
tera	T	[[$ 10^{12}$]]	milli	m	[[$10^{-3}$]]
giga	G	[[$10^{9}$]]	mikro	μ	[[$10^{-6}$]]
mega	M	[[$10^{6}$]]	nano	n	[[$10^{-9}$]]
kilo	k	[[$10^{3}$]]	piko	p	[[$10^{-12}$]]
hehto	h	[[$10^{2}$]]	femto	f	[[$10^{-15}$]]
deka	da	[[$10^{1}$]]	atto	a	[[$10^{-18}$]]

Lisäyksiköitä
Suure	Yksikkö	Tunnus	Vastaavuus
aika	minuutti	min	1 min = 60 s
	tunti	h	1 h = 60 min
	vuorokausi	d	1 d = 24 h
	vuosi	a	1 a [[$\approx $]] 365 d
tasokulma	aste	°	1° = 60'
	minuutti	'	1' = 60''
	sekunti	''
tilavuus	litra	l	1 l = 1 dm³
massa	tonni	t	1 t = 1000 kg
	atomimassayksikkö	u	1 u = 1,6605402 [[$\cdot$]] 10^-27 kg
pituus	tähtitieteellinen yksikkö	AU	1 AU = 0,1495979 [[$\cdot$]] 10¹² m
	parsek	pc	1 pc = 30,85678 [[$ \cdot$]] 10¹⁵ m

Muuntokertoimia
Pituus	1'' = 1 in = 1 tuuma = 25,40 mm
	1' = 1ft = 1 jalka = 0,3048 m
	1 yd = 1 jaardi = 0,9144 m
	1 mi = 1 maili = 1,609344 km
	1 mpk = 1 M = 1 meripeninkulma = 1852 m
	1 vv = 1 valovuosi = 9,46055 [[$ \cdot$]] 10¹⁵ m
	1 AU = tähtitieteellinen yksikkö = 149,5979 [[$ \cdot $]] 10⁹ m
Massa	1 ka = 1 karaatti = 0,2 g
	1 u = 1,6605402 [[$\cdot$]] 10^-27 kg
	1 lb = 1 naula = 0,4536 kg
	1 oz = 1 unssi = 28,35 g
Tasokulma	1° = 2[[$ \pi / $]]360 rad
Pinta-ala	1 b = 1 barn = 10^-28 m²
	1 acre = 1 eekkeri = 4,0469 [[$ \cdot $]] 10³ m²
Tilavuus	1 l = 1 dm³ = 0,001 m³
	1 bbl = 1 barreli = 0,1589873 m³
	1 gal = 1 gallona (UK) = 4,546092 l
	1 gal = 1 gallona (US) =3,785412 l
Nopeus	1 solmu = 1 mpk/h = 1,852 km/h = 0,5144 m/s

Luonnonvakioita
Nimi	Tunnus	Lukuarvo ja yksikkö
putoamiskiihtyvyys	[[$g$]]	[[$ \text{9,80665} $]] m/s²
valon nopeus	[[$c$]]	[[$ \text{2,99792458}\cdot 10^{8}$]] m/s
elektronin massa	[[$m_e$]]	[[$ \text{9,1093897}\cdot 10^{-31}$]] kg
protonin massa	[[$m_p$]]	[[$ \text{1,6726231} \cdot 10^{-27}$]] kg
neutronin massa	[[$m_n$]]	[[$\text{1,6749286} \cdot 10^{-27}$]] kg