6. Osamäärän potenssi

Määritelmä

Jos potenssin kantalukuna on osamäärä [[$ \left( \dfrac{12}{3} \right)^2 $]]​, kutsutaan merkintää osamäärän potenssiksi. Potenssin arvo voidaan laskea normaaleja laskusääntöjä käyttäen [[$ \left( \dfrac{12}{3} \right)^2 = (4)^2 = 16 $]]​ tai korottamalla ensiksi sekä osoittaja että nimittäjä toiseen potenssiin.

​[[$ \left( \dfrac{12}{3} \right)^2 = \dfrac{12^2}{3^2} = \dfrac{144}{9} = 16 $]]​

Osamäärän potenssi

Osamäärän potenssi on potenssien osamäärä [[$ \left( \dfrac{a}{b} \right)^n = \dfrac{a^n}{b^n} $]]​, [[$ b \neq 0 $]].​


Osamäärän potenssien laskusääntöjä ei välttämättä tarvitse käyttää pelkillä lukuarvoilla laskettaessa. Sen sijaan lausekkeita, joissa on mukana muuttujia, ei voida sieventää normaaleja laskusääntöjä noudattaen.

Esimerkkejä

Esimerkki 1

Sievennetään lausekkeet.

a) [[$ \left( \dfrac{3}{4} \right)^2 = \dfrac{3^2}{4^2} = \dfrac{9}{16} $]]​

b) [[$ \left( \dfrac{x}{6} \right)^2 = \dfrac{x^2}{6^2} = \dfrac{x^2}{36} $]]​

c) [[$ \left( \dfrac{3x}{5} \right)^2 = \dfrac{3^2 \cdot x^2}{5^2} = \dfrac{9x^2}{25} $]]​

d) [[$ \left( \dfrac{2a^3 \cdot a^2}{b \cdot b^5} \right)^4 = \left( \dfrac{2a^{3+2}}{b^{1+5}}\right)^4 = \left( \dfrac{2a^5}{b^6} \right)^4 = \dfrac{2^4 \cdot a^{5\cdot4}}{b^{6\cdot4}} = \dfrac{16a^{20}}{b^{24}} $]]​

Esimerkki 2

Lasketaan lausekkeet sieventämällä ensiksi yhdeksi potenssiksi.

a) ​[[$ \dfrac{16^3}{8^3} = \left( \dfrac{16}{8} \right)^3 = 2^3 = 8 $]]​

b) [[$ \dfrac{15^3}{5^3} = \left( \dfrac{15}{5} \right)^3 = 3^3 = 27 $]]​

Esimerkki 3

Merkitään yhtenä potenssina.

a) [[$ 5^7 \cdot \left( \dfrac{1}{6} \right)^7 = \left( 5 \cdot \dfrac{1}{6} \right)^7 = \left( \dfrac{5}{6} \right)^7 $]]​

b) ​[[$ \dfrac{4a^2}{3^2} = \dfrac{2^2a^2}{3^2} = \left( \dfrac{2a}{3} \right)^2 $]]​