1. Samankantaisten potenssien tulo
Tehtävät
Määritelmiä
Merkinnässä [[$ 2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16 $]] lukua 2 sanotaan kantaluvuksi, lukua 4 eksponentiksi ja
lukua 16 potenssin arvoksi. Potenssin kantaluvun kanssa on oltava tarkkana. Jos sulkeita ei käytetä, eksponentti vaikuttaa vain siihen lukuun, joka on suoraan eksponentin alla.
Esimerkki 1
Sievennetään potenssit.
a) [[$ -2^4 = -2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = -16 $]]
Kantaluku on [[$2$]]. Vastaus on negatiivinen, koska tulossa on pariton määrä (1) negatiivisia tekijöitä.
b) [[$ (-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16 $]]
Kantaluku on [[$-2$]]. Vastaus on positiivinen, koska tulossa on parillinen määrä (4) negatiivisia tekijöitä.
lukua 16 potenssin arvoksi. Potenssin kantaluvun kanssa on oltava tarkkana. Jos sulkeita ei käytetä, eksponentti vaikuttaa vain siihen lukuun, joka on suoraan eksponentin alla.
Esimerkki 1
Sievennetään potenssit.
a) [[$ -2^4 = -2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = -16 $]]
Kantaluku on [[$2$]]. Vastaus on negatiivinen, koska tulossa on pariton määrä (1) negatiivisia tekijöitä.
b) [[$ (-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16 $]]
Kantaluku on [[$-2$]]. Vastaus on positiivinen, koska tulossa on parillinen määrä (4) negatiivisia tekijöitä.
Samankantaisten potenssien tulo
Tulossa [[$ 4^2 \cdot 4^3 $]] on molempien potenssien kantaluku sama. Merkintää kutsutaankin samankantaisten potenssien tuloksi.
[[$ 4^2 \cdot 4^3 = \underbrace{4 \cdot 4}_{2 \text{ kpl}} \cdot \underbrace{4 \cdot 4 \cdot 4}_{+3 \text{ kpl}} = 4^5 = 1024 $]]
Samankantaisien potenssien kertolaskuissa on usein mukana muitakin tekijöitä, joita voidaan yhdistellä erikseen keskenään. Jos tulossa on muuttujia eli kirjaimia, kertomerkit jätetään merkitsemättä lukuarvon ja muuttujan väliin tai useamman muuttujan väliin.
[[$ 4^2 \cdot 4^3 = \underbrace{4 \cdot 4}_{2 \text{ kpl}} \cdot \underbrace{4 \cdot 4 \cdot 4}_{+3 \text{ kpl}} = 4^5 = 1024 $]]
Samankantaisten potenssien tulo
Samankantaiset potenssit kerrotaan keskenään siten, että eksponentit lasketaan yhteen. Kantaluku pysyy samana.
[[$ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $]]
Esimerkki 1
Sievennetään potenssit.| a) | [[$ a^2 \cdot a^4 = a^{2+4} = a^6 $]] | |
| b) | [[$ x \cdot x^2 \cdot x^3 = x^{1+2+3} = x^6 $]] | |
| c) | [[$ a^3 \cdot a^2 \cdot b \cdot b^6= a^{3+2} \cdot b^{1+6} = a^5b^7 $]] | Ainoastaan samankantaiset potenssit voidaan yhdistää. |
Samankantaisien potenssien kertolaskuissa on usein mukana muitakin tekijöitä, joita voidaan yhdistellä erikseen keskenään. Jos tulossa on muuttujia eli kirjaimia, kertomerkit jätetään merkitsemättä lukuarvon ja muuttujan väliin tai useamman muuttujan väliin.
Esimerkki 2
Sievennetään potenssit.| a) | [[$ (-2) \cdot (-2)^2 = (-2)^{1+2} = (-2)^3 = -8 $]] | |
| b) | [[$ -3 \cdot 3^3 = -3^{1+3} = -3^4 = -81 $]] | |
| c) | [[$ 2x^2 \cdot x^6 = 2x^{2+6} = 2x^8 $]] | |
| d) | [[$ 3a^4 \cdot (-2a^3) = 3 \cdot (-2) \cdot a^4 \cdot a^3 = -6a^{4+3} = -6a^7 $]] | Luvut kerrotaan keskenään ja eksponentit lasketaan yhteen. |