Pitkä matematiikka 2, 3 op (MAAOJ2)

Opintojakson moduulit
• Funktiot ja yhtälöt 1, 3 op (MAA2), Pakollinen

Tavoitteet
Funktiot ja yhtälöt 1
Moduulin tavoitteena on, että opiskelija
• tutustuu ilmiöiden matemaattiseen mallintamiseen polynomi-, rationaali- ja juurifunktioiden
avulla, tuntee polynomi-, rationaali- ja juurifunktioiden ominaisuudet ja osaa ratkaista niihin
liittyviä yhtälöitä sekä tietää polynomifunktion nollakohtien ja polynomin tekijöiden välisen
yhteyden
• osaa ratkaista yksinkertaisia polynomiepäyhtälöitä
• osaa käyttää ohjelmistoja matemaattisessa mallintamisessa, polynomi-, rationaalija juurifunktioiden tutkimisessa sekä polynomi-, rationaali- ja juuriyhtälöiden ja
polynomiepäyhtälöiden ratkaisemisessa sovellusten yhteydessä.

Keskeiset sisällöt
Funktiot ja yhtälöt 1
• polynomifunktio ja -yhtälö sekä polynomiepäyhtälö
• 2. asteen yhtälön ratkaisukaava
• polynomien tulo ja binomikaavat (summan neliö, summan ja erotuksen tulo)
• polynomien tekijät
• potenssifunktio ja potenssiyhtälö (eksponenttina positiivinen kokonaisluku)
• rationaalifunktiot ja -yhtälöt
• juurifunktiot ja -yhtälöt

Laaja-alainen osaaminen

Vuorovaikutusosaaminen
Opintojaksossa käytetään oppimismenetelmiä, jotka tukevat yhteisöllisyyden ja vuorovaikutuksen
lisääntymistä ja edesauttavat avoimen keskustelukulttuurin syntymistä opetus- ja
opiskelutilanteissa.

Hyvinvointiosaaminen
Hyvät työskentelytavat ja oma aktiivisuus ja vastuunkanto opinnoista ovat matematiikan
opiskelussa keskeisiä. Työtapoja ja vastuunkantoa omista opinnoista harjoitellaan ja samalla
opiskelijan itseluottamus matematiikan opiskelijana kasvaa.

Opintojakson arviointi
Opintojakso arvioidaan arvosana-asteikolla 4-10.

Pitkä matematiikka 3, 2 op (MAAOJ3)

Opintojakson moduulit
• Geometria, 2 op (MAA3), Pakollinen

Tavoitteet
Geometria
Moduulin tavoitteena on, että opiskelija
• harjaantuu hahmottamaan ja kuvaamaan tilaa ja muotoa koskevaa tietoa sekä kaksi- että
kolmiulotteisissa tilanteissa
• osaa soveltaa yhdenmuotoisuutta, Pythagoraan lausetta sekä suora- ja vinokulmaisen
kolmion trigonometriaa
• harjaantuu muotoilemaan, perustelemaan ja käyttämään geometrista tietoa sisältäviä
lauseita
• osaa käyttää ohjelmistoja tutkiessaan kuvioita ja kappaleita sekä niihin liittyvää geometriaa.

Keskeiset sisällöt
Geometria
• kuvioiden ja kappaleiden yhdenmuotoisuus
• sini- ja kosinilause
• monikulmioihin liittyvien pituuksien, kulmien ja pinta-alojen laskeminen
• ympyrän ja sen osien ja siihen liittyvien suorien geometriaa
• suoraan lieriöön ja suoraan kartioon sekä palloon liittyvien pituuksien, pinta-alojen ja
tilavuuksien laskeminen

Laaja-alainen osaaminen

Vuorovaikutusosaaminen
Opintojaksossa käytetään oppimismenetelmiä, jotka tukevat yhteisöllisyyden ja vuorovaikutuksen
lisääntymistä ja edesauttavat avoimen keskustelukulttuurin syntymistä opetus- ja
opiskelutilanteissa.

Monitieteinen ja luova osaaminen
Opintojaksossa rohkaistaan opiskelijaa tarkastelemaan ongelmia uudella tavalla, yhdistelemään
asioita sekä soveltamaan matematiikan menetelmiä eri yhteyksissä. Opintojakson aikana
tutustutaan tiedon esittämiseen sanallisessa, numeerisessa, symbolisessa ja kuvallisessa
muodossa. Samalla opiskelija oppii arvioimaan matemaattisesti esitetyn tiedon luotettavuutta ja
sovellusaloja.

Globaali- ja kulttuuriosaaminen
Läpi matematiikan opintojen opiskelijaa autetaan hahmottamaan, että matematiikan avulla
voidaan jäsentää ja ratkaista globaaleja ongelmia.

Opintojakson arviointi
Opintojakso arvioidaan arvosana-asteikolla 4-10.

Pitkä matematiikka 4, 3 op (MAAOJ4)

Opintojakson moduulit
• Analyyttinen geometria ja vektorit, 3 op (MAA4), Pakollinen

Tavoitteet
Analyyttinen geometria ja vektorit
Moduulin tavoitteena on, että opiskelija
• ymmärtää, kuinka analyyttinen geometria luo yhteyksiä geometristen ja algebrallisten
käsitteiden välille
• ymmärtää yhtälön geometrisen merkityksen
• osaa ratkaista muotoa | f(x) | = a tai | f(x) | = | g(x) | olevia itseisarvoyhtälöitä
• ymmärtää vektorikäsitteen ja perehtyy vektorilaskennan perusteisiin
• osaa tutkia kaksiulotteisen koordinaatiston pisteitä, etäisyyksiä ja kulmia vektoreiden avulla
• osaa ratkaista tasogeometrian ongelmia vektoreiden avulla
• osaa käyttää ohjelmistoja käyrien ja vektoreiden tutkimisessa sekä niihin liittyvissä
sovelluksissa.

Keskeiset sisällöt
Analyyttinen geometria ja vektorit
• käyrän yhtälö
• suoran, ympyrän ja paraabelin yhtälö
• yhtälöryhmä
• suorien yhdensuuntaisuus ja kohtisuoruus
• itseisarvoyhtälö
• pisteen etäisyys suorasta
• vektoreiden perusominaisuudet
• tason vektoreiden yhteen- ja vähennyslasku sekä tason vektorin kertominen luvulla
• tason vektoreiden pistetulo, tason vektoreiden välinen kulma

Laaja-alainen osaaminen

Vuorovaikutusosaaminen
Opintojaksossa käytetään oppimismenetelmiä, jotka tukevat yhteisöllisyyden ja vuorovaikutuksen
lisääntymistä ja edesauttavat avoimen keskustelukulttuurin syntymistä opetus- ja
opiskelutilanteissa. Turvallinen opiskeluympäristö kannustaa opiskelijoita keskusteluun, omien
ratkaisumenetelmien esittämiseen ja oman ajattelun sanoittamiseen sekä yhteistyöhön, yhdessä
tutkimiseen ja oppimiseen.

Monitieteinen ja luova osaaminen
Opintojaksossa rohkaistaan opiskelijaa tarkastelemaan ongelmia uudella tavalla, yhdistelemään
asioita sekä soveltamaan matematiikan menetelmiä eri yhteyksissä. Opintojakson aikana
tutustutaan tiedon esittämiseen sanallisessa, numeerisessa, symbolisessa ja kuvallisessa
muodossa. Samalla opiskelija oppii arvioimaan matemaattisesti esitetyn tiedon luotettavuutta ja
sovellusaloja.

Opintojakson arviointi
Opintojakso arvioidaan arvosana-asteikolla 4-10.

Pitkä matematiikka 5, 2 op (MAAOJ5)

Opintojakson moduulit
• Funktiot ja yhtälöt 2, 2 op (MAA5), Pakollinen

Tavoitteet
Funktiot ja yhtälöt 2
Moduulin tavoitteena on, että opiskelija
• tutustuu ilmiöiden matemaattiseen mallintamiseen sini- ja kosinifunktioiden sekä
eksponentti- ja logaritmifunktioiden avulla
• tutkii sini- ja kosinifunktioita yksikköympyrän symmetrioiden avulla
• osaa ratkaista sellaisia trigonometrisia yhtälöitä, jotka ovat tyyppiä sin f(x) = a tai sin f(x)
= sin g(x)
• osaa soveltaa sini- ja kosinifunktioiden yhteyttä sin2 x + cos2 x = 1
• tuntee eksponentti- ja logaritmifunktioiden ominaisuudet ja osaa ratkaista niihin liittyviä
yhtälöitä
• osaa käyttää ohjelmistoja funktioiden tutkimisessa, yhtälöiden ratkaisemisessa ja
sovellusten yhteydessä.

Keskeiset sisällöt
Funktiot ja yhtälöt 2
• suunnattu kulma ja radiaani
• yksikköympyrä
• sini- ja kosinifunktiot symmetria- ja jaksollisuusominaisuuksineen
• sini- ja kosiniyhtälöiden ratkaiseminen
• murtopotenssi ja sen yhteys juureen
• eksponenttifunktiot ja -yhtälöt
• logaritmi ja logaritmin laskusäännöt
• logaritmifunktiot ja -yhtälöt

Laaja-alainen osaaminen

Globaali- ja kulttuuriosaaminen
Läpi matematiikan opintojen opiskelijaa autetaan hahmottamaan, että matematiikan avulla
voidaan jäsentää ja ratkaista globaaleja ongelmia

Eettisyys ja ympäristöosaaminen
Opiskelija saa välineitä mallintaa ongelmia matematiikan keinoin sekä oppii käyttämään
matemaattisia menetelmiä ratkaisujen vaikutusten arvioinnin tukena.

Monitieteinen ja luova osaaminen
Opintojaksossa rohkaistaan opiskelijaa tarkastelemaan ongelmia uudella tavalla, yhdistelemään
asioita sekä soveltamaan matematiikan menetelmiä eri yhteyksissä. Opintojakson aikana
tutustutaan tiedon esittämiseen sanallisessa, numeerisessa, symbolisessa ja kuvallisessa
muodossa. Samalla opiskelija oppii arvioimaan matemaattisesti esitetyn tiedon luotettavuutta ja
sovellusaloja

Hyvinvointiosaaminen
Hyvät työskentelytavat ja oma aktiivisuus ja vastuunkanto opinnoista ovat matematiikan
opiskelussa keskeisiä. Työtapoja ja vastuunkantoa omista opinnoista harjoitellaan ja samalla
opiskelijan itseluottamus matematiikan opiskelijana kasvaa.

Opintojakson arviointi
Opintojakso arvioidaan arvosana-asteikolla 4-10.


Pitkä matematiikka 6, 3 op (MAAOJ6)

Opintojakson moduulit
• Derivaatta, 3 op (MAA6), Pakollinen

Tavoitteet
Derivaatta
Moduulin tavoitteena on, että opiskelija
• tutustuu ilmiöiden matemaattisten mallien käyttäytymiseen derivaatan avulla
• omaksuu havainnollisen käsityksen funktion raja-arvosta ja jatkuvuudesta
• ymmärtää derivaatan tulkinnan funktion muutosnopeutena
• kykenee määrittämään yksinkertaisten funktioiden derivaatat
• osaa derivoida yhdistettyjä funktioita
• hallitsee funktioiden kulun tutkimisen derivaatan avulla ja osaa määrittää niiden ääriarvot
suljetulla välillä
• osaa käyttää ohjelmistoja raja-arvon, jatkuvuuden ja derivaatan tutkimisessa sovellusten
yhteydessä.

Keskeiset sisällöt
Derivaatta
• funktion raja-arvo, jatkuvuus ja derivaatta
• polynomi- ja rationaalifunktioiden sekä juurifunktion derivaatat
• sini- ja kosinifunktioiden sekä eksponentti- ja logaritmifunktioiden derivaatat • funktioiden
tulon ja osamäärän derivaatta
• funktioiden tulon ja osamäärän derivaatta
• yhdistetty funktio ja sen derivointi
• funktion kulun tutkiminen ja ääriarvojen määrittäminen

Laaja-alainen osaaminen

Yhteiskunnallinen osaaminen
Opetus tukee opiskelijan yritteliäisyyttä ja yrittäjämäistä toimintaa sekä opettaa työn
loppuunsaattamisen merkityksen. Opiskeluun luodaan ”yrittäjämäinen” ilmapiiri, joka antaa
vapauksia mutta kannustaa vastuunottoon.

Vuorovaikutusosaaminen
Opintojaksossa käytetään oppimismenetelmiä, jotka tukevat yhteisöllisyyden ja vuorovaikutuksen
lisääntymistä ja edesauttavat avoimen keskustelukulttuurin syntymistä opetus- ja
opiskelutilanteissa. Turvallinen opiskeluympäristö kannustaa opiskelijoita keskusteluun, omien
ratkaisumenetelmien esittämiseen ja oman ajattelun sanoittamiseen sekä yhteistyöhön, yhdessä
tutkimiseen ja oppimiseen.

Hyvinvointiosaaminen
Hyvät työskentelytavat ja oma aktiivisuus ja vastuunkanto opinnoista ovat matematiikan
opiskelussa keskeisiä. Työtapoja ja vastuunkantoa omista opinnoista harjoitellaan ja samalla
opiskelijan itseluottamus matematiikan opiskelijana kasvaa.

Globaali- ja kulttuuriosaaminen
Läpi matematiikan opintojen opiskelijaa autetaan hahmottamaan, että matematiikan avulla
voidaan jäsentää ja ratkaista globaaleja ongelmia.
Eettisyys ja ympäristöosaaminen
Opiskelija saa välineitä mallintaa ongelmia matematiikan keinoin sekä käyttämään matemaattisia
menetelmiä ratkaisujen vaikutusten arvioinnin tukena.

Monitieteinen ja luova osaaminen
Opintojaksossa rohkaistaan opiskelijaa tarkastelemaan ongelmia uudella tavalla, yhdistelemään
asioita sekä soveltamaan matematiikan menetelmiä eri yhteyksissä. Opintojakson aikana
tutustutaan tiedon esittämiseen sanallisessa, numeerisessa, symbolisessa ja kuvallisessa
muodossa. Samalla opiskelija oppii arvioimaan matemaattisesti esitetyn tiedon luotettavuutta ja
sovellusaloja.

Opintojakson arviointi
Opintojakso arvioidaan arvosana-asteikolla 4-10.

Pitkä matematiikka 7, 2 op (MAAOJ7)

Opintojakson moduulit
• Integraalilaskenta, 2 op (MAA7), Pakollinen

Tavoitteet
Integraalilaskenta
Moduulin tavoitteena on, että opiskelija
• ymmärtää integraalifunktion käsitteen ja oppii määrittämään yksinkertaisten funktioiden
integraalifunktioita
• ymmärtää määrätyn integraalin käsitteen ja sen yhteyden pinta-alaan sekä tutustuu
numeeriseen menetelmään määrätyn integraalin määrittämisessä
• osaa määrittää pinta-aloja ja tilavuuksia määrätyn integraalin avulla
• perehtyy integraalilaskennan sovelluksiin
• osaa käyttää ohjelmistoja funktion ominaisuuksien tutkimisessa, integraalifunktion
määrittämisessä, määrätyn integraalin laskemisessa sovellusten yhteydessä sekä
numeerisessa integroinnissa.

Keskeiset sisällöt
Integraalilaskenta
• integraalifunktio ja tärkeimpien alkeisfunktioiden integrointi
• määrätty integraali
• suorakaidesääntö
• pinta-alan ja tilavuuden laskeminen

Laaja-alainen osaaminen

Yhteiskunnallinen osaaminen
Opetus tukee opiskelijan yritteliäisyyttä ja yrittäjämäistä toimintaa sekä opettaa työn
loppuunsaattamisen merkityksen. Opiskeluun luodaan ”yrittäjämäinen” ilmapiiri, joka antaa
vapauksia mutta kannustaa vastuunottoon.

Monitieteinen ja luova osaaminen
Opintojaksossa rohkaistaan opiskelijaa tarkastelemaan ongelmia uudella tavalla, yhdistelemään
asioita sekä soveltamaan matematiikan menetelmiä eri yhteyksissä. Opintojakson aikana
tutustutaan tiedon esittämiseen sanallisessa, numeerisessa, symbolisessa ja kuvallisessa
muodossa. Samalla opiskelija oppii arvioimaan matemaattisesti esitetyn tiedon luotettavuutta ja
sovellusaloja.

Opintojakson arviointi
Opintojakso arvioidaan arvosana-asteikolla 4-10.

Pitkä matematiikka 8, 2 op (MAAOJ8)

Opintojakson moduulit
• Tilastot ja todennäköisyys, 2 op (MAA8), Pakollinen

Tavoitteet
Tilastot ja todennäköisyys
Moduulin tavoitteena on, että opiskelija
• osaa havainnollistaa diskreettiä tilastollista jakaumaa sekä määrittää ja tulkita jakauman
tunnuslukuja
• osaa havainnollistaa kahden muuttujan yhteisjakaumaa sekä määrittää
korrelaatiokertoimen ja regressiokäyrän
• perehtyy kombinatorisiin menetelmiin
• perehtyy todennäköisyyden käsitteeseen ja laskusääntöihin
• ymmärtää diskreetin todennäköisyysjakauman käsitteen ja oppii määrittämään jakauman
odotusarvon ja tulkitsemaan sitä
• osaa käyttää ohjelmistoja digitaalisessa muodossa olevan datan hakemisessa, käsittelyssä
ja tutkimisessa sekä tilastollisen tiedon esittämisessä
• osaa hyödyntää ohjelmistoja jakaumien havainnollistamisessa, tunnuslukujen
määrittämisessä sekä todennäköisyyksien laskemisessa.

Keskeiset sisällöt
Tilastot ja todennäköisyys
• keskiluvut ja keskihajonta
• korrelaatio ja lineaarinen regressio
• klassinen ja tilastollinen todennäköisyys
• permutaatiot ja kombinaatiot
• todennäköisyyden laskusäännöt
• binomijakauma
• diskreetti todennäköisyysjakauma
• diskreetin jakauman odotusarvo

Laaja-alainen osaaminen

Yhteiskunnallinen osaaminen
Opintojakso antaa valmiudet tarkastella yhteiskunnan ilmiöitä tilastojen ja tilastollisen tutkimuksen
sekä todennäköisyyslaskennan keinoin.

Vuorovaikutusosaaminen
Opintojaksossa käytetään oppimismenetelmiä, jotka tukevat yhteisöllisyyden ja vuorovaikutuksen
lisääntymistä ja edesauttavat avoimen keskustelukulttuurin syntymistä opetus- ja
opiskelutilanteissa. Turvallinen opiskeluympäristö kannustaa opiskelijoita keskusteluun, omien
ratkaisumenetelmien esittämiseen ja oman ajattelun sanoittamiseen sekä yhteistyöhön, yhdessä
tutkimiseen ja oppimiseen.

Hyvinvointiosaaminen
Hyvät työskentelytavat ja oma aktiivisuus ja vastuunkanto opinnoista ovat matematiikan
opiskelussa keskeisiä. Työtapoja ja vastuunkantoa omista opinnoista vahvistetaan edelleen ja
samalla opiskelijan itseluottamus matematiikan opiskelijana kasvaa.

Eettisyys ja ympäristöosaaminen
Opiskelija saa välineitä mallintaa ongelmia matematiikan keinoin sekä käyttämään matemaattisia
menetelmiä ratkaisujen vaikutusten arvioinnin tukena.

Monitieteinen ja luova osaaminen
Opintojaksossa rohkaistaan opiskelijaa tarkastelemaan ongelmia uudella tavalla, yhdistelemään
asioita sekä soveltamaan matematiikan menetelmiä eri yhteyksissä. Opintojakson aikana
tutustutaan tiedon esittämiseen sanallisessa, numeerisessa, symbolisessa ja kuvallisessa
muodossa. Samalla opiskelija oppii arvioimaan matemaattisesti esitetyn tiedon luotettavuutta ja
sovellusaloja.

Opintojakson arviointi
Opintojakso arvioidaan arvosana-asteikolla 4-10.

Pitkä matematiikka 9, 1 op (MAAOJ9)

Opintojakson moduulit
• Talousmatematiikka, 1 op (MAA9), Pakollinen

Tavoitteet
Talousmatematiikka
Moduulin tavoitteena on, että opiskelija
• oppii hyödyntämään matemaattisia valmiuksiaan resurssien riittävyyteen, talouden
suunnitteluun, yrittäjyyteen ja kannattavuuden laskentaan
• soveltaa lukujonojen kaavoja talouteen liittyvissä matemaattisissa ongelmissa
• oppii sovittamaan taloudellisiin tilanteisiin matemaattisia malleja ja ymmärtää niiden
rajoitukset
• osaa hyödyntää ohjelmistoja laskelmien tekemisessä ja sovellusten yhteydessä.
Keskeiset sisällöt
Talousmatematiikka
• aritmeettinen ja geometrinen lukujono ja niiden summat
• korkolaskut: koron korko, nykyarvo ja diskonttaus
• talletukset ja lainat
• taloudellisiin tilanteisiin soveltuvia matemaattisia malleja, joissa hyödynnetään lukujonoja
ja summia

Laaja-alainen osaaminen

Yhteiskunnallinen osaaminen
Opinnot ohjaavat opiskelijaa kehittävään ja uudistuvaan otteeseen suhteessa omaan uraan ja
taloudenhoitoon sekä yrittäjämäiseen asenteeseen.

Hyvinvointiosaaminen
Talouden käsitteiden ymmärtäminen auttaa opiskelijaa hallitsemaan omaa arkeaan ja
rahankäyttöään.

Monitieteinen ja luova osaaminen
Opiskelija oppii arvioimaan matemaattisesti esitetyn tiedon luotettavuutta ja sovellusaloja.

Opintojakson arviointi
Opintojakso arvioidaan arvosana-asteikolla 4-10.

Pitkä matematiikka 10, 2 op (MAAOJ10)

Opintojakson moduulit
• 3D-geometria, 2 op (MAA10), valinnainen
Tavoitteet
3D-geometria
Moduulin tavoitteena on, että opiskelija
• syventää vektorilaskennan tuntemustaan ja oppii käyttämään vektoreita kolmiulotteisessa
avaruudessa
• oppii tutkimaan xyz-koordinaatiston pisteitä, suoria ja tasoja vektoreiden avulla
• vahvistaa avaruusgeometrian osaamistaan ääriarvosovellusten yhteydessä
• tutustuu kahden muuttujan funktioon
• osaa käyttää ohjelmistoja vektoreiden, suorien, tasojen ja pintojen havainnollistamisessa
sekä vektorilaskennassa.

Keskeiset sisällöt
3D-geometria
• vektoriesitys kolmiulotteisessa koordinaatistossa
• piste- ja ristitulo
• piste, suora ja taso avaruudessa
• kulma avaruudessa
• yhden muuttujan differentiaali- ja integraalilaskennan sovelluksia avaruusgeometriassa
• kahden muuttujan funktio ja pinta avaruudessa

Laaja-alainen osaaminen

Monitieteinen ja luova osaaminen
Opintojaksossa rohkaistaan opiskelijaa tarkastelemaan ongelmia uudella tavalla, yhdistelemään
asioita sekä soveltamaan matematiikan menetelmiä eri yhteyksissä. Opintojakson aikana
tutustutaan tiedon esittämiseen sanallisessa, numeerisessa, symbolisessa ja kuvallisessa
muodossa. Samalla opiskelija oppii arvioimaan matemaattisesti esitetyn tiedon luotettavuutta ja
sovellusaloja.

Vuorovaikutusosaaminen
Opintojaksossa käytetään oppimismenetelmiä, jotka tukevat yhteisöllisyyden ja vuorovaikutuksen
lisääntymistä ja edesauttavat avoimen keskustelukulttuurin syntymistä opetus- ja
opiskelutilanteissa. Turvallinen opiskeluympäristö kannustaa opiskelijoita keskusteluun, omien
ratkaisumenetelmien esittämiseen ja oman ajattelun sanoittamiseen sekä yhteistyöhön, yhdessä
tutkimiseen ja oppimiseen.

Opintojakson arviointi
Opintojakso arvioidaan arvosana-asteikolla 4-10.

Pitkä matematiikka 11, 2 op (MAAOJ11)

Opintojakson moduulit
• Algoritmit ja lukuteoria, 2 op (MAA11), valinnainen

Tavoitteet
Algoritmit ja lukuteoria
Moduulin tavoitteena on, että opiskelija
• tietää, mikä on algoritmi, sekä oppii tutkimaan, kuinka algoritmit toimivat
• laatii yksinkertaisiin matemaattisiin ongelmiin liittyviä algoritmeja
• oppii ohjelmoimaan yksinkertaisia algoritmeja
• perehtyy logiikan käsitteisiin
• hallitsee lukuteorian peruskäsitteet ja perehtyy alkulukujen ominaisuuksiin
• osaa tutkia kokonaislukujen jaollisuutta
• käyttää ohjelmistoja ohjelmoinnissa ja lukujen tutkimisessa.

Keskeiset sisällöt
Algoritmit ja lukuteoria
• Algoritmisen ajattelun peruskäsitteet: peräkkäisyys, valinta ja toisto
• vuokaavio
• yksinkertaisten algoritmien, lajittelualgoritmien tai yhtälön numeerisen ratkaisuun liittyvän
algoritmin ohjelmointi
• konnektiivit ja totuusarvot
• kokonaislukujenjaollisuus, jakoyhtälö ja kongruenssi
• Eukleideen algoritmi
• aritmetiikan peruslause

Laaja-alainen osaaminen

Vuorovaikutusosaaminen
Opintojaksossa käytetään oppimismenetelmiä, jotka tukevat yhteisöllisyyden ja vuorovaikutuksen
lisääntymistä ja edesauttavat avoimen keskustelukulttuurin syntymistä opetus- ja
opiskelutilanteissa. Turvallinen opiskeluympäristö kannustaa opiskelijoita keskusteluun, omien
ratkaisumenetelmien esittämiseen ja oman ajattelun sanoittamiseen sekä yhteistyöhön, yhdessä
tutkimiseen ja oppimiseen.

Monitieteinen ja luova osaaminen
Opintojaksossa rohkaistaan opiskelijaa tarkastelemaan ongelmia uudella tavalla, yhdistelemään
asioita sekä soveltamaan matematiikan menetelmiä eri yhteyksissä.

Globaali- ja kulttuuriosaaminen
Opiskelijaa autetaan hahmottamaan, että matematiikan avulla voidaan jäsentää ja ratkaista
globaaleja ongelmia.

Opintojakson arviointi
Opintojakso arvioidaan arvosana-asteikolla 4-10.

Pitkä matematiikka 12, 2 op (MAAOJ12)

Opintojakson moduulit
• Analyysi ja jatkuva jakauma, 2 op (MAA12), valinnainen

Tavoitteet
Analyysi ja jatkuva jakauma
Moduulin tavoitteena on, että opiskelija
• syventää ymmärrystään analyysin peruskäsitteistä
• osaa muodostaa ja tutkia aidosti monotonisten funktioiden käänteisfunktioita
• täydentää integraalilaskennan taitojaan
• perehtyy jatkuvan todennäköisyysjakauman käsitteeseen ja oppii soveltamaan
normaalijakaumaa
• osaa käyttää ohjelmistoja funktion ominaisuuksien tutkimisessa ja epäoleellisten
integraalien laskemisessa sovellusten yhteydessä.

Keskeiset sisällöt
Analyysi ja jatkuva jakauma
Keskeiset sisällöt
• paloittain määritelty funktio
• funktion jatkuvuuden ja derivoituvuuden tutkiminen
• jatkuvien ja derivoituvien funktioiden yleisiä ominaisuuksia
• käänteisfunktio
• funktioiden raja-arvot äärettömyydessä
• epäoleelliset integraalit
• jatkuvat jakaumat, normaalijakauma ja normittaminen

Laaja-alainen osaaminen

Yhteiskunnallinen osaaminen
Opetus tukee opiskelijan yritteliäisyyttä ja yrittäjämäistä toimintaa sekä opettaa työn
loppuunsaattamisen merkityksen.

Monitieteinen ja luova osaaminen
Opintojaksossa rohkaistaan opiskelijaa tarkastelemaan ongelmia uudella tavalla, yhdistelemään
asioita sekä soveltamaan matematiikan menetelmiä eri yhteyksissä.

Vuorovaikutusosaaminen
Opintojaksossa käytetään oppimismenetelmiä, jotka tukevat yhteisöllisyyden ja vuorovaikutuksen
lisääntymistä ja edesauttavat avoimen keskustelukulttuurin syntymistä opetus- ja
opiskelutilanteissa.

Eettisyys ja ympäristöosaaminen
Opiskelija saa välineitä mallintaa ongelmia matematiikan keinoin sekä käyttämään matemaattisia
menetelmiä ratkaisujen vaikutusten arvioinnin tukena.

Opintojakson arviointi
Opintojakso arvioidaan arvosana-asteikolla 4-10.

Pitkä matematiikka ylioppilaskokeeseen valmistava, 2 op (MAAYOOJ13)

Tavoitteet
Paikallinen lisäys
• Opintojakso tavoitteena on antaa opsikelijalle hyvät valmiudet osallistua matematiikan
ylioppilaskekeeseen ja kerrata matematiikan pitkän oppimaäärän keskeiset sisäällöt.

Keskeiset sisällöt
Paikallinen lisäys
• Pitkän matematiikan pakollisten kurssien sisältöjen kertaaminen
• Ylioppilaskokeen tehtävätyyppeihin tutustuminen
• Teknisten apuvälineiden käytön sujuvoittaminen
• Ylioppilaskokeen vastauksen laatiminen

Laaja-alainen osaaminen

Yhteiskunnallinen osaaminen
Opetus tukee opiskelijan yritteliäisyyttä ja yrittäjämäistä toimintaa sekä opettaa työn
loppuunsaattamisen merkityksen. Opiskeluun luodaan ”yrittäjämäinen” ilmapiiri, joka antaa
vapauksia mutta kannustaa vastuunottoon.

Hyvinvointiosaaminen
Työtapoja ja vastuunkantoa omista opinnoista vahvistetaan ja opiskelijan itseluottamus
matematiikan opiskelijana kasvaa.

Vuorovaikutusosaaminen
Opintojaksossa käytetään oppimismenetelmiä, jotka tukevat yhteisöllisyyden ja vuorovaikutuksen
lisääntymistä ja edesauttavat avoimen keskustelukulttuurin syntymistä opetus- ja
opiskelutilanteissa

Monitieteinen ja luova osaaminen
Opintojaksossa rohkaistaan opiskelijaa tarkastelemaan ongelmia uudella tavalla, yhdistelemään
asioita sekä soveltamaan matematiikan menetelmiä eri yhteyksissä. Opintojakson aikana
tutustutaan tiedon esittämiseen sanallisessa, numeerisessa, symbolisessa ja kuvallisessa
muodossa. Samalla opiskelija oppii arvioimaan matemaattisesti esitetyn tiedon luotettavuutta ja
sovellusaloja.

Opintojakson arviointi
Opintojakso arvioidaan suoritetuksi tai hylätyksi.

Pitkä matematiikka jatko-opintoihin valmistava, 2 op (MAAYOOJ14)

Tavoitteet
• Opintojakson tavoitteena on vahvistaa ja syventää matematiikan pakollisten ja
syventävien opintojen sisällön hallintaa ja lujittaa mahdollisuuksia menestyä
ylioppilaskokeessa ja jatko-opinnoissa.

Keskeiset sisällöt
• Pitkän matematiikan valtakunnallisten pakollisten opintojen sisältöjen vahvistaminen ja
syventäminen
• Teknisten apuvälineiden käytön osaamisen vahvistaminen
• Pitkän matematiikan valtakunnallisten syventävien opintojen sisältöjen kertaaminen
• Opittujen taitojen soveltaminen kokonaisuutena yli oppiainerajojen

Laaja-alainen osaaminen

Yhteiskunnallinen osaaminen
Opetus tukee opiskelijan yritteliäisyyttä ja yrittäjämäistä toimintaa sekä opettaa työn
loppuunsaattamisen merkityksen. Opiskeluun luodaan ”yrittäjämäinen” ilmapiiri, joka antaa
vapauksia mutta kannustaa vastuunottoon.

Hyvinvointiosaaminen
Hyvät työskentelytavat ja oma aktiivisuus ja vastuunkanto opinnoista ovat opintojakson
opiskelussa keskeisiä.

Monitieteinen ja luova osaaminen
Opintojaksossa rohkaistaan opiskelijaa tarkastelemaan ongelmia uudella tavalla, yhdistelemään
asioita sekä soveltamaan matematiikan menetelmiä eri yhteyksissä. Opintojakson aikana
tutustutaan tiedon esittämiseen sanallisessa, numeerisessa, symbolisessa ja kuvallisessa
muodossa. Samalla opiskelija oppii arvioimaan matemaattisesti esitetyn tiedon luotettavuutta ja
sovellusaloja.

Opintojakson arviointi
Opintojakso arvioidaan suoritetuksi tai hylätyksi.