4. Logaritmifunktiot
Logaritmin määritelmä
[[$Positiivisen\ luvun\ x\ \ a-kantaista\ \log aritmia\ merkitään\ \ \log_ax.$]]
Sillä tarkoitetaan eksponenttia, johon kantaluku a on korotettava, jotta saadaan x selville.
[[$Merkitään:\ \ y=\log_ax.\ Määritelmän\ mukaan\ y\ on\ eksponentti{,}\ johon\ a\ korotetaan{,}\ jotta\ saadaan\ x$]]
[[$ts.\ y=\log_ax\ \ \ tarkoittaa\ samaa\ kuin\ x=a^y\ eli\ \ y=\log_ax\ \ \ \Leftrightarrow\ \ x=a^y$]]
Esim.
[[$\log_28\ =3{,}\ sillä\ 2^3=8$]]
[[$Yhtälö\ \ 2^x=6\ voidaan\ muokata\ \log aritmimuotoon$]]
[[$x=\log_26\approx2{,}58$]]
[[$Logarit\min\ määritelmästä\ y=\log_ax\ \ \ \Leftrightarrow\ \ x=a^y\ \ seuraa:$]]
[[$\log_aa^y=y\ \ ja\ a^{^{\log_ax}}=x$]]
HUOM!
[[$\log_a1=0{,}\ sillä\ 1=a^0$]]
Logaritmijärjestelmiä:
1. Kymmenkantainen logaritmi, jossa kantaluku a = 10
[[$tällöin\ merkitään:\ \ \log_{10}x=\lg\ x\ \ \left(tai\ \log\ x\right)$]]
2. Luonnollinen logaritmi, jossa a = e ≈ 2,718 (e on Neperin luku)
[[$tällöin\ merkitään:\ \log_ex=\ln x$]]
Logaritmin laskusääntöjä:
[[$1.\ \log_ax+\log_ay=\log_axy$]]
[[$2.\ \log_ax-\log_ay=\log_a\ \frac{x}{y}$]]
[[$3.\ \log_ax^n=n\cdot\log_ax$]]
Ratkaise yhtälö
[[$a.\ \ \ 3^{2x}=8$]]
Huomataan, että luku 8 ei ole mikään kantaluvun 3. potenssi
Joudutaan käyttämään logaritmin määritelmää
[[$y=\log_ax\ \ \ \ \Leftrightarrow\ \ x=a^y$]]
[[$nyt\ \ 3^{2x}=8\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ 2x=\log_38\ \ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x=\frac{\log_38}{2}\approx0{,}95$]]
[[$b.\ \ \log_4x=-\frac{1}{2}$]]
Käytetään myös logaritmin määritelmää:
[[$x=4^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{4^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{4}}=\frac{1}{2}$]]
Kotitehtävät: 407, 408, 411 ja 413
Sillä tarkoitetaan eksponenttia, johon kantaluku a on korotettava, jotta saadaan x selville.
[[$Merkitään:\ \ y=\log_ax.\ Määritelmän\ mukaan\ y\ on\ eksponentti{,}\ johon\ a\ korotetaan{,}\ jotta\ saadaan\ x$]]
[[$ts.\ y=\log_ax\ \ \ tarkoittaa\ samaa\ kuin\ x=a^y\ eli\ \ y=\log_ax\ \ \ \Leftrightarrow\ \ x=a^y$]]
Esim.
[[$\log_28\ =3{,}\ sillä\ 2^3=8$]]
[[$Yhtälö\ \ 2^x=6\ voidaan\ muokata\ \log aritmimuotoon$]]
[[$x=\log_26\approx2{,}58$]]
[[$Logarit\min\ määritelmästä\ y=\log_ax\ \ \ \Leftrightarrow\ \ x=a^y\ \ seuraa:$]]
[[$\log_aa^y=y\ \ ja\ a^{^{\log_ax}}=x$]]
HUOM!
[[$\log_a1=0{,}\ sillä\ 1=a^0$]]
Logaritmijärjestelmiä:
1. Kymmenkantainen logaritmi, jossa kantaluku a = 10
[[$tällöin\ merkitään:\ \ \log_{10}x=\lg\ x\ \ \left(tai\ \log\ x\right)$]]
2. Luonnollinen logaritmi, jossa a = e ≈ 2,718 (e on Neperin luku)
[[$tällöin\ merkitään:\ \log_ex=\ln x$]]
Logaritmin laskusääntöjä:
[[$1.\ \log_ax+\log_ay=\log_axy$]]
[[$2.\ \log_ax-\log_ay=\log_a\ \frac{x}{y}$]]
[[$3.\ \log_ax^n=n\cdot\log_ax$]]
Ratkaise yhtälö
[[$a.\ \ \ 3^{2x}=8$]]
Huomataan, että luku 8 ei ole mikään kantaluvun 3. potenssi
Joudutaan käyttämään logaritmin määritelmää
[[$y=\log_ax\ \ \ \ \Leftrightarrow\ \ x=a^y$]]
[[$nyt\ \ 3^{2x}=8\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ 2x=\log_38\ \ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x=\frac{\log_38}{2}\approx0{,}95$]]
[[$b.\ \ \log_4x=-\frac{1}{2}$]]
Käytetään myös logaritmin määritelmää:
[[$x=4^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{4^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{4}}=\frac{1}{2}$]]
Kotitehtävät: 407, 408, 411 ja 413
Sinulla ei ole tarvittavia oikeuksia lähettää mitään.
Eksponenttiyhtälöitä mallinnustehtävissä
Jussilla on "löysää" rahaa a euroa, jonka hän päättää sijoittaa korkorahastoon. Siinä luvataan talletukselle 3 % korko vuosittain. Missä ajassa sijoitus on tullut 1,5 kertaiseksi?
%5Cright))
Joka vuosi talletus tulee 1,03 -kertaiseksi
Alussa talletus on a
Logaritmifunktiot ja -yhtälöt
Logaritmifunktiot ovat muotoa
[[$f\left(x\right)=\log_a\left(g\left(x\right)\right){,}\ jossa\ \ sisäfunktio\ g\left(x\right)>0\ \left(\log aritmi\ voidaan\ ottaa\ vain\ posit.\ luvusta\right)$]]
f(x) on kasvava, jos a > 1 ja vähenevä, jos 0 < x < 1
Logaritmiyhtälöt
- yksinkertaiset logaritmiyhtälöt ratkaistaan käyttäen logaritmin määritelmää:
[[$y=\log_ax\ \ \Leftrightarrow\ \ x=a^y$]]
- Hieman monimutkaisemmissa logaritmiyhtälöissä joudutaan käyttämään logaritmin laskusääntöjä ja logaritmin määritelmää.
Huom!
[[$Yhtälöiden{,}\ jotka\ ovat\ muotoa\ \ \log_af\left(x\right)=\log_ag\left(x\right)\ ratkaisu\ saadaan\ yhtälöstä\ f\left(x\right)=g\left(x\right)\ ehdolla\ f\left(x\right)>0\ ja\ g\left(x\right)>0$]]
[[$vertaa\ eksp\ yhtälöitä\ a^{f\left(x\right)}=a^{g\left(x\right)}$]]
Esimerkki logaritmin laskusäännöistä
[[$Sievennä\ \ \log_550-2\log_52+\log_510$]]
[[$=\log_550-\log_52^2+\log_510$]]
[[$=\log_5\ \frac{50}{4}+\log_510=\log_5\ \frac{50}{4}\cdot10=\log_5125=\log_55^3=3$]]
Ratkaise yhtälö
[[$a.\ \ \ \log_4\left(2x+3\right)=-1$]]
käytetään määritelmää:
[[$y=\log_ax\ \ \Leftrightarrow\ \ x=a^y$]]
[[$nyt\ 2x+3=4^{-1}\ \ \Leftrightarrow\ \ 2x=\frac{1}{4}-3\ \ \ \Leftrightarrow\ \ 2x=-\frac{11}{4}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ x=-\frac{11}{8}$]]
[[$b.\ \ 2\lg x-\lg\left(x-1\right)=\lg\left(x+2\right)$]]
vasemmalla puolella käytetään logaritmin laskusääntöjä
[[$\lg x^2-\lg\left(x-1\right)=\lg\left(x+2\right)\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \lg\left(\frac{x^2}{x-1}\right)=\lg\left(x+2\right)$]]
[[$nyt\ yhtälön\ ratkaisu\ saadaan\ yhtälöstä\ \frac{x^2}{x-1}=x+2\ \ \parallel\cdot\left(x-1\right)$]]
[[$x^2=\left(x+2\right)\left(x-1\right)\ \ \ \Leftrightarrow x^2=x^2-x+2x-2\ \ \Leftrightarrow\ \ 0=x-2\ \ \ \Leftrightarrow x=2$]]
Huom!
Logaritmiyhtälöissä on syytä tarkistaa, toteuttaako ratkaisut yhtälön. Lähinnä on tarkeää tarkistaa, että logaritmin sisällä olevat lausekkeet ovat positiivisia, koska logaritmia ei voida ottaa kun vain positiivisista luvuista.
Nyt huomataan, että kun x=1 niin lg(x-1) = lg1=0
[[$c.\ \ \ \log_3\left(x-1\right)+\log_36x=2$]]
[[$\log_3\left(6x\left(x-1\right)\right)=2$]]
[[$6x\left(x-1\right)=3^2$]]
[[$6x^2-6x-9=0\ \ \ \parallel:3$]]
[[$2x^2-2x-3=0$]]
[[$x=\frac{2\pm\sqrt{4-4\cdot2\cdot\left(-3\right)}}{4}=\frac{2\pm\sqrt{28}}{4}=\frac{2\pm2\sqrt{7}}{4}=\frac{2\left(1\pm\sqrt{7}\right)}{4}=\frac{1\pm\sqrt{7}}{2}$]]
[[$x_1=\frac{1+\sqrt{7}}{2}\approx1{,}8\ \ \ ja\ x_2=\frac{1-\sqrt{7}}{2}\approx-0{,}8$]]
Näistä vain positiivinen toteuttaa, sillä logaritmin sisällä olevat lausekkeet (x-1) ja 6x ovat positiivisia.
Jos x≈-0,8 sijoitetaan näihin lausekkeisiin niin molemmat ovat negatiivisia eikä logaritmi ole määritelty.
Huom!
[[$yhtälö\ \log_3\left(x-1\right)+\log_36x=2\ on\ määritelty{,}\ kun\ x-1>0\ \ ja\ 6x>0$]]
[[$f\left(x\right)=\log_a\left(g\left(x\right)\right){,}\ jossa\ \ sisäfunktio\ g\left(x\right)>0\ \left(\log aritmi\ voidaan\ ottaa\ vain\ posit.\ luvusta\right)$]]
f(x) on kasvava, jos a > 1 ja vähenevä, jos 0 < x < 1
Logaritmiyhtälöt
- yksinkertaiset logaritmiyhtälöt ratkaistaan käyttäen logaritmin määritelmää:
[[$y=\log_ax\ \ \Leftrightarrow\ \ x=a^y$]]
- Hieman monimutkaisemmissa logaritmiyhtälöissä joudutaan käyttämään logaritmin laskusääntöjä ja logaritmin määritelmää.
Huom!
[[$Yhtälöiden{,}\ jotka\ ovat\ muotoa\ \ \log_af\left(x\right)=\log_ag\left(x\right)\ ratkaisu\ saadaan\ yhtälöstä\ f\left(x\right)=g\left(x\right)\ ehdolla\ f\left(x\right)>0\ ja\ g\left(x\right)>0$]]
[[$vertaa\ eksp\ yhtälöitä\ a^{f\left(x\right)}=a^{g\left(x\right)}$]]
Esimerkki logaritmin laskusäännöistä
[[$Sievennä\ \ \log_550-2\log_52+\log_510$]]
[[$=\log_550-\log_52^2+\log_510$]]
[[$=\log_5\ \frac{50}{4}+\log_510=\log_5\ \frac{50}{4}\cdot10=\log_5125=\log_55^3=3$]]
Ratkaise yhtälö
[[$a.\ \ \ \log_4\left(2x+3\right)=-1$]]
käytetään määritelmää:
[[$y=\log_ax\ \ \Leftrightarrow\ \ x=a^y$]]
[[$nyt\ 2x+3=4^{-1}\ \ \Leftrightarrow\ \ 2x=\frac{1}{4}-3\ \ \ \Leftrightarrow\ \ 2x=-\frac{11}{4}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ x=-\frac{11}{8}$]]
[[$b.\ \ 2\lg x-\lg\left(x-1\right)=\lg\left(x+2\right)$]]
vasemmalla puolella käytetään logaritmin laskusääntöjä
[[$\lg x^2-\lg\left(x-1\right)=\lg\left(x+2\right)\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \lg\left(\frac{x^2}{x-1}\right)=\lg\left(x+2\right)$]]
[[$nyt\ yhtälön\ ratkaisu\ saadaan\ yhtälöstä\ \frac{x^2}{x-1}=x+2\ \ \parallel\cdot\left(x-1\right)$]]
[[$x^2=\left(x+2\right)\left(x-1\right)\ \ \ \Leftrightarrow x^2=x^2-x+2x-2\ \ \Leftrightarrow\ \ 0=x-2\ \ \ \Leftrightarrow x=2$]]
Huom!
Logaritmiyhtälöissä on syytä tarkistaa, toteuttaako ratkaisut yhtälön. Lähinnä on tarkeää tarkistaa, että logaritmin sisällä olevat lausekkeet ovat positiivisia, koska logaritmia ei voida ottaa kun vain positiivisista luvuista.
Nyt huomataan, että kun x=1 niin lg(x-1) = lg1=0
[[$c.\ \ \ \log_3\left(x-1\right)+\log_36x=2$]]
[[$\log_3\left(6x\left(x-1\right)\right)=2$]]
[[$6x\left(x-1\right)=3^2$]]
[[$6x^2-6x-9=0\ \ \ \parallel:3$]]
[[$2x^2-2x-3=0$]]
[[$x=\frac{2\pm\sqrt{4-4\cdot2\cdot\left(-3\right)}}{4}=\frac{2\pm\sqrt{28}}{4}=\frac{2\pm2\sqrt{7}}{4}=\frac{2\left(1\pm\sqrt{7}\right)}{4}=\frac{1\pm\sqrt{7}}{2}$]]
[[$x_1=\frac{1+\sqrt{7}}{2}\approx1{,}8\ \ \ ja\ x_2=\frac{1-\sqrt{7}}{2}\approx-0{,}8$]]
Näistä vain positiivinen toteuttaa, sillä logaritmin sisällä olevat lausekkeet (x-1) ja 6x ovat positiivisia.
Jos x≈-0,8 sijoitetaan näihin lausekkeisiin niin molemmat ovat negatiivisia eikä logaritmi ole määritelty.
Huom!
[[$yhtälö\ \log_3\left(x-1\right)+\log_36x=2\ on\ määritelty{,}\ kun\ x-1>0\ \ ja\ 6x>0$]]
Sinulla ei ole tarvittavia oikeuksia lähettää mitään.
Luonnollinen logaritmi
- Kantalukuna on Neperin luku e ≈ 2,718
(logaritmin määritelmä luonnolliselle logaritmille)
Tätä määritelmää käytetään e-kantaisissa eksponentti- ja logaritmiyhtälöissä
