3. Eksponenttifunktiot
Murtopotenssi
Potenssin laskusääntöjä on harjoiteltu jo aiemmilla opintojaksoilla ja myös yläkoulussa. Kannattaa kerrata potenssien peruslaskusäännöt.
[[$1.\ \ \ \ a^n\cdot a^p=a^{n+p}$]]
[[$2.\ \ \ \ \frac{a^n}{a^p}=a^{n-p}$]]
[[$3.\ \ \ \left(a^n\right)^p=a^{np}$]]
Lisäksi on hyvä muistaa:
[[$\left(ab\right)^n=a^nb^n\ {,}\ \ \ \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}{,}\ \ \ a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ \ ja\ \ \ a^0=1$]]
Nyt uutena asiana tulee murtopotenssi eli juurimuodot voidaan muuttaa murtopotenssiksi ja päinvastoin
[[$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}\ \ ja\ \sqrt[n]{a^p}=a^{^{ }\frac{p}{n}}{,}\ jossa\ n=2{,}\ 3{,}\ 4{,}\ ...\ ja\ a>0$]]
[[$esim\ \ \sqrt{3}=3^{\frac{1}{2}}{,}\ \ \sqrt[3]{4}=4^{\frac{1}{3}}\ ja\ toisaalta\ koska\ 4=2^2\ niin\ \sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{2^2}=2^{\frac{2}{3}}$]]
tehtävästa 301 eteenpäin
Sievennä
a)
[[$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}}$]]
b)
[[$\sqrt[6]{x}\cdot\sqrt[3]{x^2}$]]
c)
[[$\sqrt{\sqrt[4]{8}}$]]
Kotitehtävät: 205, 306, 307 ja 311
[[$1.\ \ \ \ a^n\cdot a^p=a^{n+p}$]]
[[$2.\ \ \ \ \frac{a^n}{a^p}=a^{n-p}$]]
[[$3.\ \ \ \left(a^n\right)^p=a^{np}$]]
Lisäksi on hyvä muistaa:
[[$\left(ab\right)^n=a^nb^n\ {,}\ \ \ \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}{,}\ \ \ a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ \ ja\ \ \ a^0=1$]]
Nyt uutena asiana tulee murtopotenssi eli juurimuodot voidaan muuttaa murtopotenssiksi ja päinvastoin
[[$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}\ \ ja\ \sqrt[n]{a^p}=a^{^{ }\frac{p}{n}}{,}\ jossa\ n=2{,}\ 3{,}\ 4{,}\ ...\ ja\ a>0$]]
[[$esim\ \ \sqrt{3}=3^{\frac{1}{2}}{,}\ \ \sqrt[3]{4}=4^{\frac{1}{3}}\ ja\ toisaalta\ koska\ 4=2^2\ niin\ \sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{2^2}=2^{\frac{2}{3}}$]]
tehtävästa 301 eteenpäin
Sievennä
a)
[[$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}}$]]
b)
[[$\sqrt[6]{x}\cdot\sqrt[3]{x^2}$]]
c)
[[$\sqrt{\sqrt[4]{8}}$]]
Kotitehtävät: 205, 306, 307 ja 311
Sinulla ei ole tarvittavia oikeuksia lähettää mitään.
Eksponenttifunktiot
Eksponenttifunktioissa muuttuja on eksponentissa ja ne ovat muotoa
[[$f\left(x\right)=a^x\ \ tai\ yleisem\min\ \ f\left(x\right)=a^{^{g\left(x\right)}}{,}\ jossa\ a\ on\ kantaluku\ \left(a>0\right)$]]
Eksponenttifunktio on aidosti kasvava, jos a > 1 ja aidosti vähenevä, jos 0 < a < 1
Eksponenttifunktiot saavat vain positiivisia arvoja (kuvaaja on kaikilla x:n arvoilla x-akselin yläpuolella)
[[$eli\ a^x>0\ kaikilla\ x:n\ arvoilla$]]
Eksponenttiyhtälöiden ratkaiseminen
1. Pyritään kirjoittamaan yhtälön molemmat puolet saman kantaluvun avulla käyttäen potenssin laskusääntöjä eli pyritään muokkaamaan yhtälö muotoon
[[$a^{^{f\left(x\right)}}=a^{^{g\left(x\right)}}\ \ $]]
Kun kantaluvut ovat samat niin merkitään eksponentit vain yhtäsuuriksi eli ratkaistaan yhtälö
[[$f\left(x\right)=g\left(x\right)$]]
esim. ratkaise yhtälö
[[$27^x=\frac{1}{9}\ \ \ \ Yhteinen\ kantaluku\ on\ 3\ eli\ pyritään\ molemmat\ puolet\ kirjoittamaan\ 3:n\ potens\sin a$]]
2. Jos yhteistä kantalukua eli löydy yhtälön molemmille puolille niin tällöin yhtälön ratkaisussa käytetään logaritmin määritelmää
Esimerkiksi yhtälössä
[[$2^x=6\ \ lukua\ 6\ ei\ voida\ esittää\ luvun\ 2\ potens\sin a$]]
Kotitehtävät: 333, 334 ja 335
[[$f\left(x\right)=a^x\ \ tai\ yleisem\min\ \ f\left(x\right)=a^{^{g\left(x\right)}}{,}\ jossa\ a\ on\ kantaluku\ \left(a>0\right)$]]
Eksponenttifunktio on aidosti kasvava, jos a > 1 ja aidosti vähenevä, jos 0 < a < 1
Eksponenttifunktiot saavat vain positiivisia arvoja (kuvaaja on kaikilla x:n arvoilla x-akselin yläpuolella)
[[$eli\ a^x>0\ kaikilla\ x:n\ arvoilla$]]
Eksponenttiyhtälöiden ratkaiseminen
1. Pyritään kirjoittamaan yhtälön molemmat puolet saman kantaluvun avulla käyttäen potenssin laskusääntöjä eli pyritään muokkaamaan yhtälö muotoon
[[$a^{^{f\left(x\right)}}=a^{^{g\left(x\right)}}\ \ $]]
Kun kantaluvut ovat samat niin merkitään eksponentit vain yhtäsuuriksi eli ratkaistaan yhtälö
[[$f\left(x\right)=g\left(x\right)$]]
esim. ratkaise yhtälö
[[$27^x=\frac{1}{9}\ \ \ \ Yhteinen\ kantaluku\ on\ 3\ eli\ pyritään\ molemmat\ puolet\ kirjoittamaan\ 3:n\ potens\sin a$]]
2. Jos yhteistä kantalukua eli löydy yhtälön molemmille puolille niin tällöin yhtälön ratkaisussa käytetään logaritmin määritelmää
Esimerkiksi yhtälössä
[[$2^x=6\ \ lukua\ 6\ ei\ voida\ esittää\ luvun\ 2\ potens\sin a$]]
Kotitehtävät: 333, 334 ja 335
Sinulla ei ole tarvittavia oikeuksia lähettää mitään.