Logaritmifunktiot ovat muotoa

[[$f\left(x\right)=\log_a\left(g\left(x\right)\right){,}\ jossa\ \ sisäfunktio\ g\left(x\right)>0\ \left(\log aritmi\ voidaan\ ottaa\ vain\ posit.\ luvusta\right)$]]

f(x) on kasvava, jos a > 1 ja vähenevä, jos 0 < x < 1


Logaritmiyhtälöt

- yksinkertaiset logaritmiyhtälöt ratkaistaan käyttäen logaritmin määritelmää:

[[$y=\log_ax\ \ \Leftrightarrow\ \ x=a^y$]]

- Hieman monimutkaisemmissa logaritmiyhtälöissä joudutaan käyttämään logaritmin laskusääntöjä ja logaritmin määritelmää.

Huom!

[[$Yhtälöiden{,}\ jotka\ ovat\ muotoa\ \ \log_af\left(x\right)=\log_ag\left(x\right)\ ratkaisu\ saadaan\ yhtälöstä\ f\left(x\right)=g\left(x\right)\ ehdolla\ f\left(x\right)>0\ ja\ g\left(x\right)>0$]]

[[$vertaa\ eksp\ yhtälöitä\ a^{f\left(x\right)}=a^{g\left(x\right)}$]]


Esimerkki logaritmin laskusäännöistä

[[$Sievennä\ \ \log_550-2\log_52+\log_510$]]
[[$=\log_550-\log_52^2+\log_510$]]

[[$=\log_5\ \frac{50}{4}+\log_510=\log_5\ \frac{50}{4}\cdot10=\log_5125=\log_55^3=3$]]

Ratkaise yhtälö
[[$a.\ \ \ \log_4\left(2x+3\right)=-1$]]
käytetään määritelmää:
[[$y=\log_ax\ \ \Leftrightarrow\ \ x=a^y$]]

[[$nyt\ 2x+3=4^{-1}\ \ \Leftrightarrow\ \ 2x=\frac{1}{4}-3\ \ \ \Leftrightarrow\ \ 2x=-\frac{11}{4}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ x=-\frac{11}{8}$]]

[[$b.\ \ 2\lg x-\lg\left(x-1\right)=\lg\left(x+2\right)$]]

vasemmalla puolella käytetään logaritmin laskusääntöjä
[[$\lg x^2-\lg\left(x-1\right)=\lg\left(x+2\right)\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \lg\left(\frac{x^2}{x-1}\right)=\lg\left(x+2\right)$]]

[[$nyt\ yhtälön\ ratkaisu\ saadaan\ yhtälöstä\ \frac{x^2}{x-1}=x+2\ \ \parallel\cdot\left(x-1\right)$]]

[[$x^2=\left(x+2\right)\left(x-1\right)\ \ \ \Leftrightarrow x^2=x^2-x+2x-2\ \ \Leftrightarrow\ \ 0=x-2\ \ \ \Leftrightarrow x=2$]]
Huom!
Logaritmiyhtälöissä on syytä tarkistaa, toteuttaako ratkaisut yhtälön. Lähinnä on tarkeää tarkistaa, että logaritmin sisällä olevat lausekkeet ovat positiivisia, koska logaritmia ei voida ottaa kun vain positiivisista luvuista.
Nyt huomataan, että kun x=1 niin lg(x-1) = lg1=0


[[$c.\ \ \ \log_3\left(x-1\right)+\log_36x=2$]]
[[$\log_3\left(6x\left(x-1\right)\right)=2$]]

[[$6x\left(x-1\right)=3^2$]]
[[$6x^2-6x-9=0\ \ \ \parallel:3$]]
[[$2x^2-2x-3=0$]]
[[$x=\frac{2\pm\sqrt{4-4\cdot2\cdot\left(-3\right)}}{4}=\frac{2\pm\sqrt{28}}{4}=\frac{2\pm2\sqrt{7}}{4}=\frac{2\left(1\pm\sqrt{7}\right)}{4}=\frac{1\pm\sqrt{7}}{2}$]]

[[$x_1=\frac{1+\sqrt{7}}{2}\approx1{,}8\ \ \ ja\ x_2=\frac{1-\sqrt{7}}{2}\approx-0{,}8$]]

Näistä vain positiivinen toteuttaa, sillä logaritmin sisällä olevat lausekkeet (x-1) ja 6x ovat positiivisia.
Jos x≈-0,8 sijoitetaan näihin lausekkeisiin niin molemmat ovat negatiivisia eikä logaritmi ole määritelty.

Huom!
[[$yhtälö\ \log_3\left(x-1\right)+\log_36x=2\ on\ määritelty{,}\ kun\ x-1>0\ \ ja\ 6x>0$]]