1. Trigonometriaa

Radiaani


Radiaani on kulman absoluuttinen yksikkö.

- Asteiden ja radiaanien välinen yhteys

Jos kulma α = 360° (täysi kulma tai täysi kierros ympyrällä), niin ympyrän kaaren b pituus on ympyrän kehän pituus eli 
b = 2πr
360°=\alpha=\frac{b}{r}=\frac{2\pi r}{r}=2\pi\ \ eli\ 360°=2\pi\ \left(rad\right)

\Rightarrow\ 180°=\pi

180°=\pi\ \ \mid:180
1°=\frac{\pi}{180}\left(rad\right)\approx0{,}01745
\pi=180°\ \mid:\pi
1\ \left(rad\right)=\frac{180}{\pi}°\approx57{,}29°

Yksikköympyrä

Trigonometriset funktio, kulman sini ja kosini (+tangetti) määritellään yksikköympyrällä, jonka keskipiste on origo ja säde on 1.
Koordinaatistossa tämän ympyrän yhtälö keskipistemuodossa on 

x^2+y^2=1\ \ \left(\left(x-0\right)^2+\left(y-0\right)^2=1^2\right)
Kulman kärki on origossa ja kulman alkukylki on aina x-akselin positiivinen osa.

Jokaisella kulmalla α on kehäpiste P eli piste, jossa kulman loppukylki leikkaa ympyrän kehän.



Esimerkiksi
kulman\ \frac{\pi}{2}\left(=90°\right)\ kehäpiste\ on\ \left(0{,}\ 1\right)
 
Sama ympyrän kehäpiste voi olla usealla eri kulmalla

Tarkastellaan kehäpistettä (-1, 0)
sitä vastaa kulma π, mutta jos tähän kulmaan lisätään tai vähennetään täysi kierros 2π tai täysiä kierroksia
päädytään samaan kehäpisteeseen
eli\ kehäpistettä\ \left(-1{,}0\right)\ vastaavat\ kulmat\ \pi{,}\ \pi+2\pi=3\pi{,}\ \pi+2\cdot2\pi=5\pi\ jne
tai\ \pi-2\pi=-\pi{,}\ \pi-2\cdot2\pi=-3\pi\ jne

Kirjan tehtäviä 101 - 106

Kotitehtävät: 108, 109 ja 112

Sinin ja kosinin määritelmä




Kulman α sini ja kosini voidaan määritellä kuvan suorakulmaisen kolmion avulla, jossa kateetit ovat x ja y sekä hypotenuusa 1 (ympyrän säde).
\sin\alpha=\frac{y}{1}=y
eli kulman sini on kulmaa vastaavan kehäpisteen y-koordinaatti
\cos\alpha=\frac{x}{1}=x
eli kulman kosini on kehäpisteen x-koordinaatti
Tämä on voimassa kaikille kulmille α

Nyt\ voidaan\ merkitä:\ kulman\ \alpha\ kehäpiste\ P\ =\ \left(x{,}\ y\right)=\left(\cos\alpha{,}\ \sin\alpha\right)

Nyt nähdään yksikköympyrältä helposti, että kulman π kehäpiste (-1, 0).
Tämän perusteella sinπ =0 ja cosπ = -1 (nähdään myös laskimella tai taulukkokirjasta)
 
Mikä\ on\ kulman\ 250°\ ja\ \frac{7\pi}{4}\ kehäpiste?
 
 
 

Sinin ja kosinin etumerkit eri neljänneksissä:



\sin\alpha\gt 0\ I:ssä\ ja\ II:ssa\ sekä\ \cos\alpha\gt 0\ I:ssä\ ja\ IV:ssa
\sin\alpha\lt 0\ III:ssa\ ja\ IV:ssa\ ja\ \cos\alpha\lt 0\ II:ssa\ ja\ III:ssa

Kotitehtävät: 123, 125 ja 127

Sinin ja kosinin perusominaisuuksia

 
1. Arvojoukko

-1\le\sin\alpha\le1\ \ ja\ -1\le\cos\alpha\le1\ eli\
eli sinin ja kosinin arvojoukko on [-1, 1]
koska yksikköympyrällä kehäpisteen x ja y-koordinaatti on suurimmillaan 1 ja pienimmillään -1
 
2. Jaksollisuus
 
Jos kulmaan α lisätään tai vähennetään täysiä kierroksia niin päädytään samaan kehäpisteeseen.
\sin\left(\alpha\right)=\sin\left(\alpha+n\cdot2\pi\right)=y
\cos\left(\alpha\right)=\cos\left(\alpha+n\cdot2\pi\right)=x\ {,}\ n\in\mathbb{Z}\ \left(n\ voi\ olla\ mikä\ tahansa\ kokonaisluku\right)
Sanotaan, että sinin ja kosinin jaksona on 2π (ovat 2π jaksollisia)
 
3. Trigonometrian perusyhtälö
 
Kuvan suorakulmaiselle kolmiolle on voimassa Pythagoraan lause
x^2+y^2=1{,}\ jossa\ x=\cos\alpha\ ja\ y=\sin\alpha{,}\ joten

\left(\cos\alpha\right)^2+\left(\sin\alpha\right)^2=1{,}\ nyt\ merkitään\ \left(\sin\alpha\right)^2=\sin^2\alpha\ ja\ \left(\cos\alpha\right)^2=\cos^2\alpha
eli\ Trigonometrian\ perusyhtälö\ on\ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\
Tämä on Pythagoraan lause yksikköympyrällä (ympyrän jokainen kehäpiste toteuttaa yhtälön)
 



Määritä kulman α kehäpiste, kun
a)
\alpha=-\frac{2\pi}{3}
Kulman kehäpiste saadaan, kun määritetään cosα ja sinα. Nyt kehäpiste on III-neljänneksessä, jossa sinα ja cosα ovat negatiivisia.
Nyt saadaan kehäpisteelle tarkka arvo, jolloin käytetään taulukkoa apuna.
Taulukoikossa on tarkat arvot kulmille väliltä 0 - 2π. Jos kulma ei ole tällä välillä niin silloin voidaan käyttää sinin ja kosinin jaksollisuutta eli lisätään tai vähennetään tähän kulmaan 2π tai sen monikertoja.
-\frac{2\pi}{3}+2\pi=\frac{4\pi}{3}\ eli\ \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}

\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}\ eli\ P=\left(-\frac{1}{2}{,}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)
 
b)
Jos kulma on yli 2π niin silloin voidaan vähentää 2π tai sen monikertoja
Huom!
Voidaan ajatella myös seuraavasti: 
\alpha=\frac{21\pi}{4}=5\pi+\frac{1}{4}\pi=\frac{5\pi}{4}+2\cdot2\pi
nyt\ kulmalla\ \alpha\ on\ sama\ kehäpiste\ kuin\ kulmalla\ \frac{5\pi}{4}
 
Kotitehtävät: 137, 140 ja 142

Muita ominaisuuksia




Peilataan kulman α kehäpiste P = (x, y) y-akselin suhteen. Saadaan uusi kehäpiste, jossa y-koord säilyy samana ja x-koord muuttuu vastakkaismerkkiseksi eli uusi kehäpiste P = (-x, y), joka on kulman π - α kehäpiste. Tämän perusteella saadaan

\sin\alpha=\sin\left(\pi-\alpha\right)\left(=y\right)
kulmat\ \alpha\ ja\ \pi-\alpha\ ovat\ toistensa\ \sup lementtikulmia\ \left(summa\ on\ \pi\right)
eli kulman ja sen suplementtikulman sinit ovat yhtäsuuret.

Toinen\ yhteys:\ \cos\left(\pi-\alpha\right)=-\cos\alpha\ \left(\cos\alpha=-\cos\left(\pi-\alpha\right)\right)
 
Jos α-kulman kehäpiste P = (x, y) peilataan x-akselin suhteen niin kehäpisteen x-koord säilyy samana mutta y-koord muuttuu vastakkaismerkkiseksi eli kulman α vastakulman, -α:n kehäpiste P = (x, -y)

kulman\ \alpha\ ja\ sen\ vastakulman\ -\alpha\ ko\sin it\ ovat\ yhtä\ suuret\ eli\
\cos\alpha=\cos\left(-\alpha\right)

Toinen\ yhteys:\ \sin\left(-\alpha\right)=-\sin\alpha
 
Nyt\ on\ helpompi\ määrittää\ esim\ \cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right)=\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}
Vastaavasti\ \sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)=-\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}
 



Trigonometrian perusyhtälö
 
\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1{,}\ jossa\ merkitään\ \sin^2\alpha=\left(\sin\alpha\right)^2

Tässä kulman α kehäpiste P = (x, y) = (cosα, sinα) eli kyseessä on Pythagoraan lause yksikköympyrällä.
 
Trig perusyhtälöä joudutaan käyttämään, jos tiedetään sinα ja joudutaan määrittämään cosα (tai päinvastoin)

Esimerkki
Tie\detään{,}\ että\ \cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{5}}\ ja\ \pi\lt \alpha\lt 2\pi.\ Määritä\ \sin\alpha\ \left(tarkka\ arvo\right).
Mietitään, missä neljänneksessä kulma ja kehäpiste sijaitsee. Tämän avulla voidaan päätellä onko sinα > 0 vai onko sinα < 0
 
\cos\alpha\lt 0\ eli\ ollaan\ joko\ II\ tai\ III-neljänneksessä\ ja
\pi\lt \alpha\lt 2\pi\ eli\ ollaan\ III-\ tai\ IV-neljänneksessä
\Rightarrow\ kulma\ ja\ sen\ kehäpiste\ on\ nyt\ III:ssa{,}\ jossa\ \sin\alpha\lt 0
 
Käytetään trigonometrian perusyhtälöä
\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\ \ \ \left(\left(\sin\alpha\right)^2+\left(\cos\alpha\right)^2=1\right)

\sin^2\alpha+\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2=1\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin^2\alpha=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}
\Leftrightarrow\ \sin\alpha=\pm\sqrt{\frac{4}{5}}=-\frac{2}{\sqrt{5}}
Kulman\ \alpha\ kehäpiste\ on\ \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}{,}-\frac{2}{\sqrt{5}}\right)

Kotitehtävät: 147, 148 ja 151

 
Trigonometriassa tarvitaan sinin ja kosinin kaksinkertaisia kulmia, jotka määritellään
\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha
\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha

Kotitehtävät: 153, 154b ja 155