3.4

375

a) f, g, ne eivät leikkaa x-akselia
b) f, g, niillä ei ole nollakohtia
c) h, p, ne leikkaavat x-akselin
d) h, sillä on yksi nollakohta
e) h, sillä on yksi nollakohta

376

$f\left(1\right)=12$

selvitetään a

$a\left(x+2\right)\left(x-5\right)=12{,}\ kun\ x=1$
$a\left(1+2\right)\left(1-5\right)=12$
$-12a=12\ \parallel:\left(-12\right)$

$a=-1$

muutetaan funktioksi tekijöistä sieventämällä

$-1\left(x+2\right)\left(x-5\right)$
$-1\left(x^2+2x-5x-10\right)$
$-x^2+3x+10$
b)

$f\left(1\right)=12$
selvitetään tekijät nollakohdista
$x=2$
$x-2=0$
$x=-\frac{1}{2}$
$x-\frac{1}{2}=0$

selvitetään a

$a\left(x-2\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)=12{,}\ kun\ x=1$
$a\left(1-2\right)\left(1+\frac{1}{2}\right)=12$
$-1\ \frac{1}{2}a=12\ \parallel:\left(-1\ \frac{1}{2}\right)$

$a=-8$

muodostetaan funktioksi tekijöistä sieventämällä

$-8\left(x-2\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)$
$-8\left(x^2+\frac{1}{2}x-2x-1\right)$
$-8x^2+12x+8$
c)

$f\left(1\right)=12$
selvitetään tekijät nollakohdista
$x=3$
$x-3=0$

selvitetään a

$a\left(x-3\right)\left(x-3\right)=12{,}\ kun\ x=1$
$a\left(-2\right)\left(-2\right)=12$
$4a=12\ \ \parallel:4$

$a=3$

muodostetaan funktioksi tekijöistä sieventämällä

$3\left(x-3\right)\left(x-3\right)$
$3\left(x^2-3x-3x+9\right)$
$3x^2-18x+27$

373

a)
$3x^2-12x+12$
$x=\frac{12}{6}=2$
$3\left(x-2\right)^2$
b)
$-2x^2+3x-4$

$x=\frac{-3\pm\sqrt{-23}}{-4}$

yhtälöllä ei ole nollakohtia, se on jaoton

372

a)
$6x^2-x-2$
$x=\frac{1\pm7}{12}=\frac{2}{3}\ tai\ -\frac{1}{2}$
$6\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)$
b)
$10x^2+x-3$
$x=\frac{-1\pm11}{20}=\frac{1}{2\ }\ tai\ -\frac{3}{5}$
$10\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{3}{5}\right)$

371

a)
$2x^2+9x-5$
$x=\frac{-9\pm\sqrt{9^2-4\cdot2\cdot\left(-5\right)}}{4}=\frac{-9\pm\sqrt{121}}{4}$
$\frac{-9+11}{4}=\frac{1}{2}\ tai\ \frac{-20}{4}=-5$
$2\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+5\right)$
b)
$3x^2-7x-6$
$x=\frac{7\pm\sqrt{121}}{6}=\frac{7+11}{6}=3\ tai\ \frac{7-11}{6}=-\frac{2}{3}$
$3\left(x-3\right)\left(x+\frac{2}{3}\right)$

383

$\frac{2\cdot7}{2}=2\cdot2\cdot7=28$

$\frac{\left(x-2\right)\left(x+7\right)}{x-2}=\left(x-2\right)^2\left(x+7\right)=\left(x^2+4\right)\left(x+7\right)=x^3+7x^2+4x+28$
c)

$\frac{x^2-x-12}{x+3}$

lasketaan nollakohdat

$x=\frac{-1\pm\sqrt{49}}{2}=\frac{-1+49}{2}=24\ tai\ \frac{-1-49}{2}=-25$
$\frac{24^2-24-12}{27}=\frac{540}{27}=20\$

tai

$\frac{-25^2-25-12}{-22}=\frac{588}{-22}=-26{,}72727...\approx-27$

378

a)
nollakohdat x=-2 ja x=1
$f\left(x\right)=a\left(x+2\right)\left(x-1\right)$

$\left(ax+2a\right)\left(x-1\right)=\left(ax^2+ax-2a\right)$

Funktion kuvaaja kulkee pisteen (0, 4) kautta

$f\left(0\right)=4$
$a\left(0+2\right)\left(0-1\right)=4$
$-2a=4$
$a=-2$
$f\left(x\right)=-2x^2-2x+4$
b)
nollakohdat x=-1 ja x=3

$f\left(x\right)=a\left(x+1\right)\left(x-3\right)$

Funktion kuvaaja kulkee pisteen (0, -1) kautta

$f\left(0\right)=-1$
$a\left(0+1\right)\left(0-3\right)=-1$
$-3a=-1$
$a=\frac{1}{3}$
$\frac{1}{3}\left(x+1\right)\left(x-3\right)$
$\left(\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\right)\left(x-3\right)=\frac{1}{3}x^2-x+\frac{1}{3}x-1$
$\frac{1}{3}x^2-\frac{2}{3}x-1$