Teksti

4.3 Korkeamman asteen epäyhtälö

Lause

Polynomifunktion merkki voi vaihtua vain nollakohdassa.

Esim. Tutki milloin funktio $f\left(x\right)=\left(-2x+1\right)\left(x^2-4\right)$ saa positiivisia arvoja

Ratkaistaan nollakohdat

$f\left(x\right)=0$
$\left(-2x+1\right)\left(x^2-4\right)=0$

tulon nollasääntö

$-2x+1=0\$
$-2x=-1\ \parallel:-2$
$x=\frac{1}{2}$

tai

$x^2-4=0$
$x^2=4\ \parallel\sqrt{ }$
$x=\pm2$

tehdään merkkikaavio:

$\begin{array}{l|l} &&-2&&\frac{1}{2}&&2&\\ \hline -2x+1&+&&+&&-&&-\\ x^2-4&+&&-&&-&&+\\ \hline\ (-2x+1)(x^2-4)&+&&-&&+&&- \end{array}$

funktio saa positiivisia arvoja kun f(x)=0, tämä toteutuu kun x<-2 tai 1/2<x<2

$2x^3\le-3x^2-x$

$2x^3+3x^2+x\le0$ ratkaistaan nollakohdat

$2x^3+3x^2+x=0$
$x\left(2x^2+3x+1\right)=0$
$x=0\ tai\ 2x^2+3x+1=0$
$2x^2+3x+1$

toisen asteen yhtälö, voidaan käyttää ratkaisukaavaa

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$x=\frac{-3\pm1}{4}=-\frac{4}{4}=-1\ tai\ -\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}$

nollakohdat on x=0, x=-1/2 ja x=1

tutkitaan funktion merkkiä laskemalla funktion arvoja testikohdissa

$f\left(-2\right)=2\left(-2\right)^3+3\left(-2\right)^2-2=-16+12-2=-6<0$
$f\left(-\frac{3}{4}\right)\approx0{,}094>0$

$f\left(-\frac{1}{4}\right)\approx-0{,}094<0$
$f\left(1\right)=2\cdot1^3+3\cdot1^2+1=6>0$

tehdään merkkikaavio

$\begin{array}{l|l} &&-1&&-\frac{1}{2}&&0&\\ \hline 2x^3+3x^2+x&-&&+&&-&&+ \end{array}$

v: funktio saa pienempiä tai yhtäsuuria arvoja kuin nolla kun $x\le-1\ tai\ -\frac{1}{2}\le x\le0$