Kertaustehtäviä

K11

a)
$3x+6=0$
$3x=-6\ \parallel:3$
$x=-2$
b)
$4x-5=2x+6$
$4x-2x=6+5$
$2x=11\ \parallel:2$
$x=5{,}5$
c)
$\left(3x-2\right)\left(2x-1\right)=0$
$6x^2-7x+2=0$
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{7\pm\sqrt{\left(-7\right)^2-4\cdot6\cdot2}}{12}=\frac{7\pm\sqrt{49-48}}{12}=\frac{7\pm1}{12}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\ tai\ \frac{8}{12}=\frac{2}{3}$
$\left(3x-2\right)\left(2x-1\right)=2$
$6x^2-7x=0$
$x\left(6x-7\right)=0$
$x=0\ tai\ 6x-7=0$
$6x=7\ \parallel:6$
$x=1\ \frac{1}{7}$

K9

a)
$3x^5+12x^3=3x^3\left(x^2+4\right)$
b)
$3x^5+12x^3=3x^3\left(x^2-4\right)$
c)
$x^3-2x^2+3x-6=x^2\left(x-2\right)+3\left(x-2\right)=\left(x-2\right)\left(x^2+3\right)$
d)
$x^4-1=\left(x^2+1\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)$

K6

a)
$2x^2+6x=2x\left(x+3\right)$
b)
$x^2-4=\left(x+2\right)\left(x-2\right)$
c)
$x^2-2x+1=\left(x-1\right)^2$
d)
$9x^2-25=\left(3x-5\right)\left(3x-5\right)$

K5

a) nollakohtia voi olla korkeintaan asteluvun verran
b) onko suora nouseva vai laskeva
c) onko paraabeli ylöspäin vai alaspäin avautuva
d) missä paraabelin huippu on

K4

a)
$f\left(x\right)=x^2-2x-3$
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{2\pm\sqrt{\left(-2\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-3\right)}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{2\pm4}{2}=\frac{2-4}{2}=-1\ tai\ \frac{2+4}{2}=\frac{6}{2}=3$

väite on tosi, funktion nollakohdat ovat -1 ja 3

b)
$f\left(x\right)=2x^2-2$

$f\left(-2\right)=2\left(-2\right)^2-2=2\left(4\right)-2=8-2=6$

väite on epätosi, funktion arvo kohdassa x=-2 ei ole -10

c)
$f\left(x\right)=7x-x^3$

$f\left(-1\right)=7\left(-1\right)-\left(-1\right)^3=-7+1=-6$

väite on epätosi, koska funktion kohdassa x=-1, se ei saa arvoa -8

$f\left(x\right)=x^4+1$
$x^4+1=0$

$x^4=-1\ \sqrt[4]{}$

väite on tosi, negatiivisesta luvusta ei voi ottaa parillista juurta eli yhtälöllä ei ole nollakohtia

K3

a)
$f\left(x\right)=2x\left(3x+4\right)+1=6x^2+8x+1$
b)
$f\left(x\right)=3\left(2x-1\right)+x\left(-4x+5\right)=6x-3+\left(-4x^2\right)+5x=-4x^2+11x-3$
c)
$f\left(x\right)=-\left(2x-1\right)\left(x+3\right)=-\left(2x^2+6x-x-3\right)=-2x^2-5x+3$
d)
$f\left(x\right)=1-\left(3x^4+1\right)^2=1-3x^8-1=3x^8$

K2

a)
$\left(2x+3\right)^2+3x^2=2x^2+3^2+3x^2=5x^2+9$
b)
$\left(3-x\right)\left(3+x\right)-x^2=\left(3^2-x^2\right)-x^2=-2x^2+9$
c)
$\left(x^3+1\right)\left(x^3-1\right)=\left(x^3\right)^2-1^2=x^6-1$
d)
$\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)=\left(x^2-1^2\right)\left(x^2+1\right)=\ x^4+x^2-x^2-1=x^4-1$

K1

a) E
b) A
c) D
d) B
e) F
f) C