Teksti

4.1 Yleinen potenssifunktio ja juuri

Potenssifunktio on muotoa $f\left(x\right)=x^n{,}\ n=1{,}\ 2{,}\ 3{,}\ ...$

määritelmä

Olkoon a, b ∈ℝ

Luvun a kuutiojuuri

$\sqrt[3]{a}$ on se luku b jonka kolmas potenssi on a, ts. $\sqrt[3]{a}=b\Leftrightarrow b^3=a$

esim.

$\sqrt[3]{27}$

koska

$27=9\cdot3=3\cdot3\cdot3=3^3$ , niin $\sqrt[3]{27}=3$
$\sqrt[3]{-27}=-3$
, koska $\left(-3\right)^3=-27$

Määritelmä

Luvun a n:s juuri $\sqrt[n]{a}$
on

- se ei-negatiivinen reaaliluku b $\sqrt[n]{a}=b$ , jolle $b^n=a$ , kun n parillinen ja $a\ge0$

- se reaaliluku b eli $\sqrt[n]{a}=b$ , jolle $b^n=a$ , kun n on pariton ja a∈ℝ

Esim. Laske

a) $\sqrt[4]{81}$

koska $81=9\cdot9=3\cdot3\cdot3\cdot3=3^4$
$\sqrt[4]{81}=3$

b)

$\sqrt[6]{-25}$

Minkään luvun kuudes potenssi ei ole negatiivinen, joten juurta ei ole olemassa

c)

$\sqrt[5]{-32}$

Koska $-32=\left(-2\right)^5{,}\ niin\ \sqrt[5]{-32}$

myös funktio $f\left(x\right)=x^n{,}\ n=-1{,}\ -2{,}\ -3{,}\ ...$ on potenssifunktio

Määritelmä $x^{-k}=\frac{1}{x^k}{,}\ missä\ x\ne0$
$f\left(x\right)=x^{-3}=\frac{1}{x^3}$

laske f(3) ja f(1/3)

$f\left(3\right)=\frac{1}{3^3}=\frac{1}{27}$
$f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)^3}=\frac{1}{\frac{1}{27}}=1\cdot\frac{27}{1}=27$