5. Lukujonot yleistä
Lukujonot
Lukujono on jono (usein tietyn säännön mukaan muodostettuja) lukuja (tai alkioita),
esimerkiksi [[$2,5,8,...$]]. Lukujonon lukuja kutsutaan jonon jäseniksi tai termeiksi.
Merkintä [[$ a_n $]] tarkoittaa yleistä jäsentä, missä
[[$ n $]] on jonon jäsenen järjestysnumero. Jäsen [[$ a_{n-1} $]] edeltää jäsentä [[$ a_n $]].
Alaindeksillä osoitetaan kuinka mones jäsen on kyseessä, esimerkiksi [[$ a_3 $]] tarkoittaa jonon kolmatta jäsentä. Lukujonon [[$2,5,8,...$]] kolmas jäsen on [[$a_3=8$]].
| [[$ (a_n)=a_1,a_2,a_3,...,a_n $]] | päättyvä (eli ensimmäinen ja viimeinen jäsen tiedetään) |
rajoitettu (eli lukujonon jäsenet sisältyvät johonkin suljettuun väliin [[$ [a,b] $]]) |
| [[$ (a_n)=a_1,a_2,a_3,... $]] | päättymätön | alhaalta rajoitettu (eli lukujono alkaa jäsenestä [[$a_1$]] ja jatkuu kohti positiivista ääretöntä [[$\infty$]]) |
| [[$ (a_n)=...,a_{n-2},a_{n-1},a_n $]] | päättymätön | ylhäältä rajoitettu (eli lukujono jatkuu kohti negatiivista ääretöntä [[$- \infty$]]) |
| [[$ (a_n)=...,a_i,a_{i+1},a_{i+2},... $]] | päättymätön | rajoittamaton (eli lukujono jatkuu kohti negatiivista [[$- \infty$]] ja positiivista ääretöntä [[$ \infty$]]) |
- Päättyvällä lukujonolla [[$(a_n)=a_1, a_2, a_3,...,a_n$]] on [[$n$]] kappaletta jäseniä.
- Päättyvän lukujonon pienin ja suurin arvo saadaan määritettyä.
- Päättyvän lukujonon jäsenille voidaan laskea summa [[$ \sum_{i=1}^{n} a_i=a_1+a_2+a_3+...+a_n$]].
Lukujonojen erikoistapauksia ovat aritmeettiset ja geometriset lukujonot. Niihin tutustutaan luvuissa 5.2 ja 5.4.
Lukujonon sääntö
Osalle lukujonoista voidaan ilmoittaa analyyttinen ja/tai rekursiivinen sääntö, jonka avulla lukujonon jäsen voidaan laskea.
Analyyttisesti määritellyssä lukujonossa laskukaavan avulla mikä tahansa jonon jäsen voidaan laskea järjestysnumeronsa [[$ n $]] avulla. Analyyttisessä säännössä yleinen jäsen [[$ a_n $]] ilmoitetaan lausekkeena, jossa muuttujana on [[$ n $]]. Esimerkiksi [[$a_n=3n-7$]].
Lukujono määritellään rekursiiviseksi, kun jonon alusta luetellaan tarpeellinen määrä jonon jäseniä ja annetaan yleinen sääntö, jonka perusteella jonon jäsen voidaan määrittää edellis(t)en jäsen(t)en avulla. Tällaista sääntöä nimitetään rekursiiviseksi säännöksi tai rekursiosäännöksi. Säännön avulla ei voida laskea mitä tahansa jäsentä, ellei edellinen jäsen (tai edelliset jäsenet) ole tiedossa.
Esimerkiksi [[$\left\{ \begin{array}{1}a_1=4\\a_n=3 \cdot a_{n-1}-7, & \quad n=2,3,4,...\end{array} \right.$]]
Rekursiiviseen sääntöön pitää merkitä ensimmäinen jäsen [[$ a_1 $]], koska muuten seuraavaa jäsentä ei saa määritettyä. Säännön loppuun merkitään [[$ n=2, 3, 4,... $]], jotta tiedetään, mistä jäsenestä alkaen sääntö on voimassa.
Joillekin lukujonoille voidaan muodostaa sekä analyyttinen että rekursiivinen sääntö.
Lukujonon monotonisuus
Lukujono [[$ (a_n) $]] on
- vähenevä, jos [[$ a_n \geq a_{n+1} $]]
- aidosti vähenevä, jos [[$ a_n>a_{n+1} $]]
- kasvava, jos [[$ a_n \leq a_{n+1} $]]
- aidosti kasvava, jos [[$ a_n<a_{n+1} $]]
kaikilla indeksin [[$ n $]] arvoilla ([[$ n \in Z_{+} $]])
Lukujonoa sanotaan
- monotoniseksi, jos se on kasvava tai vähenevä
- aidosti monotoniseksi, jos se on aidosti kasvava tai aidosti vähenevä
Esimerkki 1
Lukujonon ensimmäinen jäsen [[$ a_1 $]] on 7. Yleinen jäsen saadaan kaavalla [[$ a_n=a_{n-1} \cdot 3-5, n=2, 3, 4,... $]]. Määritä jonon kolme ensimmäistä jäsentä. Onko jono määritelty analyyttisesti vai rekursiivisesti?
Ratkaisu:
[[$ a_1=7 $]]
Tällöin [[$ a_2=7 \cdot 3-5=16 $]].
Samoin saadaan [[$ a_3=16 \cdot 3-5=43 $]]
Vastaus: Kolme ensimmäistä jäsentä ovat 7, 16 ja 43. Jono on määritelty rekursiivisesti, koska jäsenen laskemiseen pitää tietää edellinen jäsen.
Esimerkki 2
a) Määritä jonon kolme ensimmäistä jäsentä.
b) Paljonko on [[$ a_{100} $]]?
c) Onko jono määritelty analyyttisesti vai rekursiivisesti?
Ratkaisu:
a) [[$ a_1=4 \cdot 1^2-25=-21 \\ a_2=4 \cdot 2^2-25=-9 \\ a_3=4 \cdot 3^2-25=11 $]]
Kolme ensimmäistä jäsentä ovat –21, –9 ja 11.
b) [[$ a_{100}=4 \cdot 100^2-25=39 \ 975 $]]
c) Jono on määritelty analyyttisesti, koska jäsenet voidaan määrittää järjestysnumeron [[$ n $]] avulla.
Esimerkki 3
Jos lukujonosta tiedetään vain pari jäsentä, sen jatko ei ole yksikäsitteinen.
Määritä lukujonolle [[$ 1, 2, 3,... $]] analyyttinen tai rekursiivinen sääntö.
Ratkaisu:
Lukujono voi jatkua usealla tavalla. 
Esimerkiksi
i) [[$ 1, 2, 3, 4, 5,... $]]
ii) tai [[$ 1, 2, 3, 5, 8,... $]]
iii) tai [[$ 1, 2, 3, 5, 9,... $]]
i) Lukujonon [[$ 1, 2, 3, 4, 5,... $]] analyyttinen sääntö on
[[$a_n=n$]].
Lukujonon rekursiivinen sääntö on, että edelliseen jäseneen lisätään yksi. Tämä merkitään
[[$ \left\{ \begin{array}{l }a_1=1 \\a_n=a_{n-1}+1 & \quad n=2,3,4,...\end{array} \right.$]]
ii) Lukujonossa [[$ 1, 2, 3, 5, 8,... $]] lasketaan yhteen kaksi edellistä jäsentä.
[[$ a_1=1 $]],
[[$ a_2=2 $]] ,
[[$ a_3=a_1+a_2=1+2=3 $]],
[[$ a_4=a_2+a_3=2+3=5 $]] jne.
Lukujonon sääntö on rekursiivinen, koska yleisen jäsenen määrittämiseen tarvitaan edellisiä jäseniä.
Sääntö on
[[$ \left\{ \begin{array}{l }a_1=1 \\a_2=2\\a_n=a_{n-1}+a_{n-2} & \quad n=3,4, 5,...\end{array} \right.$]]
iii) Lukujonon [[$ 1, 2, 3, 5, 9,... $]] säännön selvittämiseksi muodostetaan taulukko.
| [[$ n $]] | [[$ a_n $]] | ||
|---|---|---|---|
| [[$1$]] | [[$ 1 $]] | ||
| [[$2$]] | [[$ 2 $]] | [[$ =1+1 $]] | [[$ =1+2^0 $]] |
| [[$3$]] | [[$ 3 $]] | [[$ =1+2 $]] | [[$ =1+2^1 $]] |
| [[$4$]] | [[$ 5 $]] | [[$ =1+4 $]] | [[$ =1+2^2 $]] |
| [[$5$]] | [[$ 9 $]] | [[$ =1+8 $]] | [[$ =1+2^3 $]] |
| [[$ n $]] | [[$ a_1+2^{n-2} $]] |
Huomataan, että ensimmäiseen jäseneen lisätään kahden kertotaulua. [[$ 1=2^0 $]], joten toinenkin jäsen saadaan määritettyä samalla tavalla. Lukujono on analyyttinen, koska jäsenen määrittämiseksi riittää tieto sen järjestysnumerosta [[$ n $]]. Verrataan kahden eksponenttia ja järjestysnumeroa [[$ n $]], jolloin huomataan, että kahden eksponentti on [[$ n-2 $]].
Koska sääntö ei päde ensimmäiseen jäseneen, se merkitään erikseen ja sääntö alkaa toisesta jäsenestä.
Tällöin analyyttinen sääntö on
[[$ \left\{ \begin{array}{l }a_1=1 \\a_n=a_1+2^{n-2} & \quad n=2,3,4,...\end{array} \right.$]]
Esimerkki 4
Lukujonon viisi ensimmäistä jäsentä ovat [[$ 210 $]], [[$ 192 $]], [[$ 174 $]], [[$ 156 $]] ja [[$ 138 $]]. Etsi jonolle analyyttinen ja rekursiivinen sääntö.
Ratkaisu:
Jonon peräkkäisten jäsenten erotus on vakio:
[[$ a_n=a_{n-1}-18 $]]
Tällöin jonon rekursiivinen sääntö on
[[$ \left\{ \begin{array}{l }a_1=210 \\a_n=a_{n-1}-18 & \quad n=2,3,4,...\end{array} \right.$]]
Analyyttisen säännön selvittämiseksi tehdään taulukko:
| [[$ n $]] | [[$ a_n $]] | Analyyttinen sääntö |
|---|---|---|
| [[$ 1 $]] | [[$ 210 $]] | [[$ 210-0 \cdot 18 $]] |
| [[$ 2 $]] | [[$ 192 $]] | [[$ 210-1 \cdot 18 $]] |
| [[$ 3 $]] | [[$ 174 $]] | [[$ 210-2 \cdot 18 $]] |
| [[$ 4 $]] | [[$ 156 $]] | [[$ 210- 3 \cdot 18 $]] |
| [[$ 5 $]] | [[$ 138 $]] | [[$ 210-4 \cdot 18 $]] |
| [[$ n $]] | [[$ 210-(n-1)\cdot 18 $]] |
Verrataan järjestysnumeroa [[$ n $]] ja laskukaavaa. Tästä saadaan analyyttiseksi säännöksi:[[$ a_n=210-(n-1) \cdot 18=210-18n+18=228-18n $]]
Vastaus: Rekursiivinen sääntö on
[[$ \left\{ \begin{array}{l }a_1=210 \\a_n=a_{n-1}-18 & \quad n=2,3,4,...\end{array} \right.$]]
Analyyttinen sääntö on [[$ a_n=228-18n $]].
Esimerkki 5
Määritä lukujonolle [[$ 1, 4, 8,... $]] kolme erilaista sääntöä ja säännön perusteella jonon neljäs jäsen. Ilmoita myös, onko sääntö analyyttinen vai rekursiivinen.
Ratkaisu:
i) Ensimmäiseen lukuun lisätään 3 ja toiseen 4. Tällöin kolmanteen lukuun lisätään 5 ja saadaan [[$ a_4=8+5=13 $]].
| [[$ n $]] | [[$ a_n $]] | Sääntö | |
|---|---|---|---|
| [[$ 1 $]] | [[$ 1 $]] | ||
| [[$ 2 $]] | [[$ 4 $]] | [[$ = 1+3 $]] | [[$ a_{n-1} +3 $]] |
| [[$ 3 $]] | [[$ 8 $]] | [[$ =4+4 $]] | [[$ a_{n-1} +4 $]] |
| [[$ 4 $]] | [[$ 13 $]] | [[$ =8+5 $]] | [[$ a_{n-1} +5 $]] |
| [[$ n $]] | [[$ a_n $]] | [[$ a_{n-1} + n +1 $]] |
[[$ \left\{ \begin{array}{l }a_1=1 \\a_n=a_{n-1}+n+1 & \quad n=2,3,4,...\end{array} \right.$]]
ii) Taulukoidaan annetut jäsenet ja muodostetaan niistä sääntö.
| [[$ n $]] | [[$ a_n $]] | Sääntö | |
|---|---|---|---|
| 1 | [[$ 1 $]] | ||
| 2 | [[$ 4 $]] | [[$ =1 \cdot 2^2 $]] | [[$ 1 \cdot 2^n $]] |
| 3 | [[$ 8 $]] | [[$ =1 \cdot 2^3 $]] | |
| 4 | [[$ 16 $]] | [[$ =1 \cdot 2^4 $]] | |
| [[$ n $]] | [[$ a_n $]] | [[$ a_1 \cdot 2^n $]] |
[[$ \left\{ \begin{array}{l }a_1=1 \\a_n=a_1 \cdot 2^n & \quad n=2,3,4,...\end{array} \right.$]]
iii) Taulukoidaan annetut jäsenet ja muodostetaan niistä uusi sääntö.
| [[$ n $]] | [[$ a_n $]] | Sääntö | |
|---|---|---|---|
| 1 | [[$ 1 $]] | ||
| 2 | [[$ 4 $]] | [[$ =1 \cdot 4= 1 \cdot 2^2 $]] | [[$ a_{n-1} \cdot 2^2 $]] |
| 3 | [[$ 8 $]] | [[$ =4 \cdot 2=4 \cdot 2^1 $]] | [[$ a_{n-1} \cdot 2^1 $]] |
| 4 | [[$ 8 $]] | [[$ =8 \cdot 1=8 \cdot 2^0 $]] | [[$ a_{n-1} \cdot 2^0 $]] |
| [[$ n $]] | [[$ a_n $]] | [[$ a_{n-1} \cdot 2^{4-n} $]] |
[[$ \left\{ \begin{array}{l }a_1=1 \\a_n=a_{n-1} \cdot 2^{4-n} & \quad n=2,3,4,...\end{array} \right.$]]
Vastaus:
i) [[$ a_4=13 $]]. Rekursiivinen sääntö on
[[$ \left\{ \begin{array}{l }a_1=1 \\a_n=a_{n-1}+n+1 & \quad n=2,3,4,...\end{array} \right.$]]
ii) [[$ a_4=16 $]]. Analyyttinen sääntö on
[[$ \left\{ \begin{array}{l }a_1=1 \\a_n=a_1 \cdot 2^n & \quad n=2,3,4,...\end{array} \right.$]]
iii) [[$ a_4=8 $]]. Rekursiivinen sääntö on
[[$ \left\{ \begin{array}{l }a_1=1 \\a_n=a_{n-1} \cdot 2^{4-n} & \quad n=2,3,4,...\end{array} \right.$]]
Esimerkki 6
Määritä lukujonon suurin ja pienin termi.
a) –22, 37, –59, 71, –88, 102
b) [[$ a_n=\sqrt{n} $]]
c) [[$ \begin{cases} a_1=397 \\ a_n=-\text{1,5} \cdot a_{n-1} +\text{1024,5} & n=2,3,4 \end{cases} $]]
Ratkaisu:
a) [[$ -22, 37, -59, 71, -88, 102 $]]
Lukujono on päättyvä, joten sen pienin termi on [[$ -88 $]] ja suurin termi [[$ 102 $]].
b) [[$ a_n=\sqrt{n} $]]
Alkuehto: On oltava [[$ n>0 $]], koska neliöjuuren alla ei voi olla negatiivista lukua.
[[$ n\geq 1 $]] aina, jolloin alkuehto toteutuu. Pienin termi on [[$ \sqrt{1}=1 $]].
Suurinta termiä ei voida määrittää, koska [[$ n $]] lähestyy positiivista ääretöntä [[$ \infty $]].
c) [[$ \begin{cases} a_1=397 \\ a_n=-\text{1,5} \cdot a_{n-1} +\text{1024,5} & n=2,3,4 \end{cases} $]]
[[$ \begin{align} a_1&=397 \\ a_2&=-\text{1,5} \cdot 397 +\text{1024,5}=429\\a_3&=-\text{1,5} \cdot 429+\text{1024,5}=381\\a_4&=-\text{1,5} \cdot 381+\text{1024,5}=453 \end{align} $]]
Lukujonossa on vain neljä termiä, jolloin pienin termi on [[$ 381 $]] ja suurin termi [[$ 453 $]].
Vastaus:
a) pienin termi on [[$ -88 $]] ja suurin termi [[$ 102 $]]
b) pienin termi on [[$ 1 $]] ja suurinta termiä ei voida määrittää, koska [[$ n $]] lähestyy positiivista ääretöntä [[$ \infty $]]
c) pienin termi on [[$ 381 $]] ja suurin termi [[$ 453 $]]
Esimerkki 7
Lukujonon termejä ovat –1, –21, 0, –14, 1, –7, 2, 0, 3, 7. Määritä lukujonolle joko analyyttinen tai rekursiivinen sääntö.
Ratkaisu:
Muodostetaan lukujonon termeistä taulukko.
| [[$ n $]] | [[$ a_n $]] | |
|---|---|---|
| [[$ -1 $]] | ||
| [[$ -21 $]] | [[$ =-7 \cdot 3 $]] | |
| [[$ 0 $]] | ||
| [[$ -14 $]] | [[$ =-7 \cdot 2 $]] | |
| [[$ 1 $]] | ||
| [[$ -7$]] | [[$ =-7 \cdot 1 $]] | |
| [[$ 2 $]] | ||
| [[$ 0 $]] | [[$ =-7 \cdot 0 $]] |
Lukujonon joka toinen luku kasvaa yhdellä ja joka toinen luku saadaan kertomalla jokin luku –7 :llä, mutta niistä ei voi muodostaa sääntöä koko jonolle.
Vastaus:
Lukujonolle ei voida muodostaa sääntöä.
