5.1 Lukujonon rekursiivinen sääntö

Lukujonon rekursiivinen esitys

Rekursiivisen lukujonon yleinen jäsen lasketaan jonon aikaisemman tai aikaisempien jäsenten avulla. Sääntöä sanotaan rekursiiviseksi säännöksi.
Rekursiivinen lukujono voi olla joko päättyvä tai päättymätön.

Yksi tunnetuimpia rekursiivisia lukujonoja on Fibonaccin lukujono.

Fibonaccin lukujono

Fibonaccin lukujonossa lasketaan yhteen kaksi edellistä jäsentä ja näin saadaan seuraava jäsen. Jonon 20 ensimmäistä jäsentä ovat 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584 ja 4181.

Fibonaccin lukujono [[$a_n$]] määritellään rekursiivisesti seuraavasti:
[[$a_n= \begin{cases} 0 & \mbox{, kun } n = 1 \\ 1 & \mbox{, kun } n = 2 \\ a_{n-1}+a_{n-2} & \mbox{, kun } n \geq 3 \\ \end{cases}$]]

Huomaa, että rekursio alkaa [[$n$]]:n arvosta 3.

Fibonaccin lukujono voidaan määritellä myös analyyttisesti:[[$ \begin{equation*}a_n=\dfrac{(1+\sqrt{5})^n-(1-\sqrt{5})^n}{2^n \cdot \sqrt{5}}\end{equation*} $]]​, [[$ n=1,2,3,... $]]​


Fibonaccin lukujonon ([[$ a_n $]])​ kahden peräkkäisen jäsenen suhde on [[$ \displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_{n}} $]]​ ja se lähestyy lukua [[$ \text{0,5} \cdot(\sqrt{5}+1) \approx \text{1,61803} $]]​, kun [[$ n $]] lähestyy ääretöntä [[$ \infty $]].
Toisin päin ilmaistuna suhde on [[$ \displaystyle\frac{a_{n}}{a_{n+1}} $]] ja se lähestyy lukua [[$ \text{0,5} \cdot(\sqrt{5}-1) \approx \text{0,61803} $]]​, kun [[$ n $]] lähestyy ääretöntä [[$ \infty $]]. Tämä luku on niin sanottu kultaisen leikkauksen suhde.

Kultainen spiraali piirretty kultaisen leikkauksen suhteessa.

Fibonaccin luvut esiintyvät luonnossa sekä kasveissa että eläimissä, esimerkiksi päivänkakkaran terälehtien lukumäärä on 34. Kultainen leikkaus esiintyy esimerkiksi ihmisen luuston rakenteissa, muurahaisen ruumiin osien suhteissa ja kotilon rakenteessa.




Luonnon täydellinen kaava (HS)

Esimerkki 1

Lukujonon rekursiivinen sääntö on [[$ \begin{cases} a_1=3 \\ a_n=(a_{n-1})^{-2} & \quad n=2,3,4,... \end{cases} $]] Määritä kolme ensimmäistä jäsentä.


Ratkaisu:
[[$ a_1=3 \\ a_2=3^{-2}= \dfrac{1}{3^2}= \dfrac{1}{9} \\ a_3=(\dfrac{1}{9})^{-2}= \dfrac{1}{(\frac{1}{9})^2}= \dfrac{1}{\frac{1}{81}}= 1 \cdot \dfrac{81}{1}=81 $]]​

(Muistathan, että jaettaessa murtoluvulla se muutetaan kertolaskuksi kertomalla jaettava jakajan käänteisluvulla)

Vastaus: Kolme ensimmäistä jäsentä ovat [[$ 3, \dfrac{1}{9} $]] ja [[$ 81 $]].

Esimerkki 2

Määritä lukujonon rekursiivinen sääntö ja neljäs jäsen, kun kolme ensimmäistä jäsentä ovat
a) [[$ 625, 25, 5,... $]]​
b) [[$ 2, -4, -16,... $]]​
c) [[$ 2, -4, 16,... $]]​
d) [[$ 3, 1, 1,... $]]​

Ratkaisu:
a) [[$ 625, 25, 5,... $]]

[[$ 25^2=625 $]], joten [[$ \sqrt{625}=25 $]]. Rekursiivinen sääntö on
[[$ \begin{cases} a_1=625 \\ a_n=\sqrt{a_{n-1}} & \quad n=2,3,4,... \end{cases} $]]
Neljäs jäsen on [[$ \sqrt{5} $]].

b) [[$ 2, -4, -16,... $]]

​​[[$ 2^2=4 $]] ja [[$ 4^2=16 $]]. Tällöin rekursiivinen sääntö on
[[$ \begin{cases} a_1=2 \\ a_n=-1 \cdot (a_{n-1})^2 & \quad n=2,3,4,... \end{cases} $]]
Neljäs jäsen on [[$ -1 \cdot (-16)^2=-256 $]].

c) [[$ 2, -4, 16,... $]]

​​[[$ 2^2=4 $]] ja [[$ 4^2=16 $]] aivan kuten edellä. Nyt etumerkki vaihtuu joka toisessa jäsenessä, joten kerrotaan [[$ (-1) $]]​:llä.

n[[$ a_n $]]​
1 2 ​
2 -4 [[$ =2^2 \cdot(-1) $]] [[$ =2^2 \cdot(-1)^1 $]]
3 16 [[$ =(-4)^2 \cdot(-1)\cdot(-1) $]] [[$ =(-4)^2 \cdot(-1)^2 $]]
4 -256 [[$ =16^2 \cdot(-1)\cdot(-1)\cdot(-1) $]] [[$ =16^2 \cdot(-1)^3 $]]
[[$ n $]]​ [[$ =(a_{n-1})^2 \cdot(-1)^{n-1} $]]

Rekursiivinen sääntö on
[[$ \begin{cases} a_1=2 \\ a_n=(a_{n-1})^2 \cdot(-1)^{n-1} & \quad n=2,3,4,... \end{cases} $]]​

Neljäs jäsen on [[$ -256 $]].

Toinen vaihtoehto:

n[[$ a_n $]]​
1 2 ​
2 -4 [[$ =2 \cdot(-2) $]] [[$ =2 \cdot 2 \cdot(-1) $]] [[$ =2 \cdot 2^1 \cdot(-1) $]]
3 16 [[$ =(-4) \cdot(-4) $]] [[$ =-4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot(-1) $]] [[$ =(-4) \cdot 2^2 \cdot(-1) $]]
4 -128 [[$ =16 \cdot(-8) $]] [[$ =16 \cdot 2^3 \cdot(-1) $]]
[[$ n $]]​ [[$ =a_{n-1} \cdot 2^{n-1} \cdot (-1) $]]

Rekursiivinen sääntö on
[[$ \begin{cases} a_1=2 \\ a_n=a_{n-1} \cdot 2^{n-1} \cdot(-1) & \quad n=2,3,4,... \end{cases} $]]

Neljäs jäsen on [[$ -128 $]].

Huom! Tästä esimerkistä huomataan, että, jos lukujonon jäseniä tiedetään vain muutama, lukujonon säännön selvittäminen ei ole yksiselitteistä.


d) [[$ 3, 1, 1,... $]]

Tähänkin voi löytyä useampia ratkaisuja. Esimerkiksi
[[$ \begin{cases} a_1=3 \\ a_n=1^{a_{n-1}} & \quad n=2,3,4,... \end{cases} $]]
Tällöin neljäs jäsen on [[$ 1^1=1 $]].

Esimerkki 3

Lukujonon ensimmäinen jäsen [[$ a_1=-6 $]]​ ja yleinen jäsen on [[$ a_n=-2 \cdot a_{n-1} +7 $]], [[$ n=2,3,4,... $]]. Mikä on jäsentä [[$ 17 \, 069 $]] edeltävä jäsen?

Ratkaisu:
[[$ a_n=-2 \cdot a_{n-1} +7 $]].

Sijoitetaan [[$ a_n=17 \, 069 $]] yleisen jäsenen sääntöön.
[[$ \begin{align} 17 \, 069&=-2 \cdot a_{n-1} +7 & \parallel &-7 \\ 17 \, 062&=-2 \cdot a_{n-1}& \parallel &:(-2) \\ -8 \, 531&=a_{n-1} \end{align} $]]

Vastaus: Jäsen on [[$ -8 \, 531 $]].

*Esimerkki 4

Lukujonon 3. jäsen on [[$ -9 $]], 4. jäsen [[$ 4 $]] ja 5. jäsen [[$ -\frac{1}{3} $]]. Määritä jonon ensimmäinen jäsen.

Ratkaisu:
Taulukoidaan jäsenet:

[[$ n $]]​[[$ a_n $]]​kokeillaan eri laskutoimituksia
1
2
3 [[$ -9 $]]
4 [[$ 4 $]] [[$ =-9 +13 $]] [[$ =-9 \cdot (-\frac{4}{9}) $]] [[$ =-9 \cdot (-\frac{1}{3})+1 $]]
5 [[$ -\frac{1}{3} $]] [[$ =4 \cdot (-\frac{1}{12}) $]] [[$ =4 \cdot (-\frac{1}{3})+1 $]]

Koska kokonaisluvuista siirrytään murtolukuun, sääntöön sisältyy yleensä joko kerto- tai jakolasku. Jäsenien etumerkki vaihtuu, joten säännössä kerrotaan tai jaetaan negatiivisella luvulla.

Kokeilemalla eri laskutoimituksia saadaan laskusäännöksi [[$ a_n=a_{n-1} \cdot (-\frac{1}{3})+1=-\frac{a_{n-1}}{3}+1 $]].

Tästä saadaan laskutoimitus 2. jäsenen selvittämiseksi.

[[$ \begin{align} a_3=-\frac{a_2}{3}+1 &=-9 & \parallel & -1 \\ -\frac{a_2}{3}&=-10 & \parallel & \cdot(-3) \\ a_2&=30 \end{align} $]]

Ensimmäinen jäsen saadaan yhtälöstä:

[[$ \begin{align} a_2=-\frac{a_1}{3}+1&=30 &\parallel & -1 \\ -\frac{a_1}{3}&=29 &\parallel & \cdot(-3) \\ a_1&=-87 \end{align} $]]

Vastaus: Ensimmäinen jäsen on [[$ -87 $]].