5.2 Aritmeettinen lukujono
Aritmeettinen lukujono
Lukujonoa, jossa jonon jäsen (ensimmäistä lukuunottamatta) saadaan lisäämällä edelliseen jäseneen jokin vakio [[$ d $]], kutsutaan aritmeettiseksi lukujonoksi.
Aritmeettisen lukujonon säännön voi ilmoittaa joko analyyttisesti tai rekursiivisesti.
Aritmeettinen lukujono ilmaistuna rekursiivisen säännön mukaan on [[$ a_n=a_{n-1}+d $]], kaikilla [[$ n=2,3,4,... $]]. Tällöin [[$ a_2=a_1+d $]].
Kahden peräkkäisen jäsenen erotus [[$ d $]] on vakio ja riippumaton järjestysluvusta [[$ n $]].
Peräkkäisten jäsenten erotus
[[$ d = a_n - a_{n-1}, \quad$]] kaikilla [[$ n = 2,3,4,...$]]
Jos aritmeettisesta lukujonosta tunnetaan ensimmäinen (tai jokin muu) jäsen ja peräkkäisten jäsenten erotus [[$ d $]], mikä tahansa jäsen saadaan määritettyä näiden avulla.
1. jäsen [[$a_1$]]
2. jäsen [[$a_2=a_1 +d$]]
3. jäsen [[$a_3=a_2 +d=a_1 +d+d=a_1 +2d$]]
4. jäsen [[$a_4=a_3 +d=a_1 +2d+d=a_1 +3d$]]
[[$n$]]. jäsen [[$a_n=a_1 +(n-1)d$]]
Aritmeettinen lukujono ilmaistaan yleensä ylläolevan analyyttisen säännön avulla.
Aritmeettisen lukujonon yleinen jäsen saadaan kaavalla
[[$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$]]
jossa
[[$ a_n $]] on yleinen jäsen
[[$ a_1 $]] on ensimmäinen jäsen
[[$ n $]] on jäsenten lukumäärä
[[$ d $]] on peräkkäisten jäsenten erotus
Aritmeettinen lukujono joko kasvaa tai vähenee lineaarisesti, koska [[$ d $]] on vakio.
Esimerkkinä aidosti kasvava aritmeettinen lukujono, jonka ensimmäinen jäsen on [[$ -8 $]] ja [[$ d=2 $]].
Kuvassa on 10 ensimmäistä jäsentä.
Vastaavasti aidosti vähenevä aritmeettinen lukujono, jossa ensimmäinen jäsen on [[$ 15 $]] ja [[$ d=-2,5 $]].
GeoGebra-sovelma aritmeettisesta lukujonosta
Esimerkki 1
Onko lukujono [[$ 8, 15, 22, 30,... $]] aritmeettinen?
Ratkaisu:
Määritetään peräkkäisten jäsenten erotus [[$ d $]].
| [[$ n $]] | [[$ a_n $]] | erotus [[$ d $]] |
|---|---|---|
| [[$ 1 $]] | [[$ 8 $]] | |
| [[$ 2 $]] | [[$ 15 $]] | [[$ 15-8 =7 $]] |
| [[$ 3 $]] | [[$ 22 $]] | [[$ 22-15=7 $]] |
| [[$ 4 $]] | [[$ 30 $]] | [[$ 30-22=8 $]] |
Peräkkäisten jäsenten erotus [[$ d $]] ei ole vakio, joten lukujono ei ole aritmeettinen.
Vastaus: Lukujono ei ole aritmeettinen.Esimerkki 2
Ilmoita aritmeettinen lukujono [[$ -17,-21,-25,... $]] rekursiivisesti ja analyyttisesti.
Ratkaisu:
Lukujonon ensimmäinen termi [[$ a_1=-17 $]].
Ratkaistaan peräkkäisten termien erotus [[$ d $]].
| [[$ n $]] | [[$ a_n $]] | [[$ d $]] |
| [[$1$]] | [[$ -17 $]] | |
| [[$2$]] | [[$ -21 $]] | [[$ -21-(-17)=-4 $]] |
| [[$3$]] | [[$ -25 $]] | [[$ -25-(-21)=-4 $]] |
[[$ \begin{cases} a_1=-17 \\ a_n= a_{n-1} -4 & \quad n=2,3,4,... \end{cases} $]]
Analyyttinen sääntö:
[[$a_n=a_1+(n-1)\cdot d=-17+(n-1)(-4)=-17-4n+4=-13-4n$]]
Vastaus:
Rekursiivinen sääntö on [[$ \begin{cases} a_1=-17 \\ a_n= a_{n-1} -4 & \quad n=2,3,4,... \end{cases} $]] ja analyyttinen sääntö on [[$a_n=-13-4n$]].
Esimerkki 3
Määritä aritmeettisen lukujonon kymmenes jäsen.
a) [[$ 2, 5,8,... $]]
b) [[$ -4,-11,-18,... $]]
Ratkaisu:
a) Peräkkäisten jäsenten erotus
[[$ d=a_2-a_1=5-2=3 $]]
[[$ a_1=2 $]]
Kymmenes jäsen
[[$ a_{10}=a_1+(n-1) \cdot d=2+(10-1) \cdot 3=2+9 \cdot 3=29 $]]
b) Peräkkäisten jäsenten erotus
[[$ d=-11-(-4)=-7 $]]
[[$ a_1=-4 $]]
Kymmenes jäsen
[[$ a_{10}=a_1+(n-1) \cdot d=-4+(10-1) \cdot (-7)=-4+9 \cdot (-7)=-67 $]]
a) [[$ 29 $]]
b) [[$ -67 $]]
Esimerkki 4
Aritmeettinen lukujono on [[$ -1, 2 \frac{1}{2}, 6,... $]]
a) Kuinka mones jäsen lukujonossa on luku [[$ 2344 $]]?
b) Kuuluuko luku [[$ 3456 $]] lukujonoon?
Ratkaisu:
[[$ a_1=-1 $]]
[[$ d=a_2-a_1=2 \frac{1}{2}-(-1)=3 \frac{1}{2} $]]
a) Sijoitetaan [[$ 2344 $]] yleisen jäsenen kaavaan
[[$ a_n=a_1+(n-1) \cdot d$]]
[[$ \begin{align} 2344&=-1+(n-1) \cdot 3 \frac{1}{2}\\2344&=-1+3 \frac{1}{2}n-3 \frac{1}{2}\\2344&=-4 \frac{1}{2}+3 \frac{1}{2}n & \parallel & +4 \frac{1}{2}\\2348 \frac{1}{2}&=3 \frac{1}{2}n & \parallel & :3 \frac{1}{2}\\671&=n \end{align} $]]
Luku [[$ 2344 $]] on [[$ 671. $]] jäsen.
b) Sijoitetaan [[$ 3456 $]] yleisen jäsenen kaavaan:
[[$ \begin{align} 3456&=-1+(n-1) \cdot 3 \frac{1}{2}\\3456&=-1+ 3 \frac{1}{2}n - 3 \frac{1}{2}\\3456&=-4 \frac{1}{2} + 3 \frac{1}{2} n & \parallel & +4 \frac{1}{2}\\3460 \frac{1}{2}&=3 \frac{1}{2} n & \parallel & :3 \frac{1}{2}\\\text{988,714} & \approx n \end{align} $]]
Järjestysluvun [[$ n $]] pitää olla kokonaisluku ja koska se ei tässä tapauksessa ole, luku [[$ 3456 $]] ei kuulu lukujonoon.
Vastaus:a) Luku on 671. jäsen
b) Luku 3456 ei kuulu lukujonon jäsen.
