5.5 Geometrinen summa
Geometrinen summa
Geometrinen summa [[$ S_n $]] saadaan, kun geometrisen lukujonon [[$ n $]] ensimmäistä jäsentä lasketaan yhteen.[[$ S_n=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_i=a_1+a_2+...+a_n $]]
Geometrisen lukujonon summa ([[$ n $]] ensimmäistä jäsentä) lasketaan kaavalla
[[$ S_n=\dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q} $]]
jossa
[[$ a_1 $]] on ensimmäinen jäsen
[[$ q $]] on peräkkäisten jäsenten suhde, [[$ \quad q \neq 1 $]], koska nimittäjä ei saa olla [[$ 0 $]]
[[$ n $]] on jäsenten lukumäärä
Summan kaava voidaan ilmoittaa myös muodossa
[[$S_n=a_1 \cdot \dfrac{1-q^n}{1-q}$]]
Kaavan johtaminen löytyy linkistä.
Jos [[$ q=1 $]], kaikki jäsenet ovat yhtäsuuria kuin [[$ a_1 $]] ja geometrinen summa on
[[$ S_n=\underbrace{a_1+a_1+...+a_1}_{n \, \text{kpl}}=n \cdot a_1 $]]
Geometrisen summan GeoGebra-sovelma
Alla olevaan sovelmaan voit muuttaa lukujonon ensimmäisen jäsenen, peräkkäisten jäsenten suhdeluvun [[$q$]] ja summaan laskettavan jäsenten lukumäärän [[$n$]].
Esimerkki 1
Määritä geometrisen jonon 4, 12, 36,... kymmenen ensimmäisen jäsenen summa.
Ratkaisu:
[[$ \begin{align}q&=\frac{a_2}{a_1}=\frac{12}{4}=3\\n&=10\\S_n&=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{4 \cdot (1-3^{10})}{1-3}=118 \, 096\end{align} $]]
Vastaus: Jonon kymmenen ensimmäisen jäsenen summa on 118 096.
Ratkaisu:
[[$ \begin{align}q&=\frac{a_2}{a_1}=\frac{12}{4}=3\\n&=10\\S_n&=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{4 \cdot (1-3^{10})}{1-3}=118 \, 096\end{align} $]]
Vastaus: Jonon kymmenen ensimmäisen jäsenen summa on 118 096.
Esimerkki 2
Määritä geometrinen summa
a) [[$ 2 + 8+32+...+32 \, 768 $]]
b) [[$ \displaystyle\sum_{t=1}^{9} 2^t $]]
Ratkaisu:
a) [[$ 2 + 8+32+...+32 \, 768 $]]
[[$ q=\frac{8}{2}=4 $]]
Selvitetään kuinka mones jäsen on 32 768.
[[$ \begin{align}a_n&=a_1 \cdot q^{n-1}\\32 \, 768&=2 \cdot 4^{n-1} & \parallel :2\\16 \, 384&=4^{n-1}\end{align} $]]
Kokeilemalla eri arvoja saadaan
[[$ 16 \, 384=4^{7} $]]
Tällöin [[$ n-1=7 $]] eli [[$ n=8 $]]
Summa on
[[$ S_8=\dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\dfrac{2 \cdot (1-4^{7})}{1-4}=10 \, 922$]]
b) [[$ \displaystyle\sum_{t=1}^{9} 2^t $]]
[[$ \begin{align}a_1&=2^t=2^1=2\\a_2&=2^2=4\\a_3&=2^3=8\end{align} $]]
Jono on geometrinen ja [[$ q=\frac{4}{2}=2 $]]
Summa on
[[$ S_n=\dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\dfrac{2 \cdot (1-2^9)}{1-2}=1022 $]]
Vastaus: Geometrinen summa on
a) 10 922.
b) 1022.
a) [[$ 2 + 8+32+...+32 \, 768 $]]
b) [[$ \displaystyle\sum_{t=1}^{9} 2^t $]]
Ratkaisu:
a) [[$ 2 + 8+32+...+32 \, 768 $]]
[[$ q=\frac{8}{2}=4 $]]
Selvitetään kuinka mones jäsen on 32 768.
[[$ \begin{align}a_n&=a_1 \cdot q^{n-1}\\32 \, 768&=2 \cdot 4^{n-1} & \parallel :2\\16 \, 384&=4^{n-1}\end{align} $]]
Kokeilemalla eri arvoja saadaan
[[$ 16 \, 384=4^{7} $]]
Tällöin [[$ n-1=7 $]] eli [[$ n=8 $]]
Summa on
[[$ S_8=\dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\dfrac{2 \cdot (1-4^{7})}{1-4}=10 \, 922$]]
b) [[$ \displaystyle\sum_{t=1}^{9} 2^t $]]
[[$ \begin{align}a_1&=2^t=2^1=2\\a_2&=2^2=4\\a_3&=2^3=8\end{align} $]]
Jono on geometrinen ja [[$ q=\frac{4}{2}=2 $]]
Summa on
[[$ S_n=\dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\dfrac{2 \cdot (1-2^9)}{1-2}=1022 $]]
Vastaus: Geometrinen summa on
a) 10 922.
b) 1022.
Esimerkki 3
Geometrisen lukujonon 1; 1,5; 2,25;... summa on 75 751,5 . Kuinka monta termiä summaan lasketaan mukaan?
Ratkaisu:
Määritetään suhdeluku [[$ q $]].
[[$ q=\frac{\text{1,5}}{1}=\text{1,5} $]]
[[$ \begin{align}S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{1 \cdot (1-\text{1,5}^n)}{1-\text{1,5}}=75 \, \text{751,5}\end{align} $]]
[[$ \begin{align}\frac{1-\text{1,5}^n}{-\text{0,5}}&=75 \, \text{751,5} & \parallel & \cdot(-\text{0,5})\\1-\text{1,5}^n&=-37 \, \text{875,8} & \parallel & -1\\-\text{1,5}^n&=-\text{37876,8}\end{align} $]]
Kokeillaan eri arvoja [[$ n $]]:n paikalle ja saadaan
[[$ -\text{1,5}^{26}=-37 \, \text{876,8} $]]
Tällöin [[$ n=26 $]]
Vastaus: Summaan lasketaan 26 termiä.
Esimerkki 4
Petra tallettaa säästötilille joka vuoden alussa 1000 €. Vuoden lopussa korkoa maksetaan 0,9 %. Kuinka paljon Petralla on rahaa tilillä 4. vuoden lopussa, jos tililtä ei nosteta mitään?
Ratkaisu:
i)
ii)
Muodostetaan geometrinen jono.
iii)
Muodostetaan geometrinen summa [[$ (\text{1,009}^4+\text{1,009}^3+\text{1,009}^2+\text{1,009}) $]]:sta.
[[$ \begin{align}q&=\text{1,009}\\a_1&=\text{1,009}\\a_2&=\text{1,009} \cdot \text{1,009}=\text{1,009}^2\\n&=4\\S_n&=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\\&=\frac{\text{1,009}(1-\text{1,009}^4)}{1-\text{1,009}}\\&=\text{4,09081}\end{align} $]]
Tällöin [[$ 1000 \,€ \cdot \text{4,09081}=\text{4090,81}\,€ $]]
Vastaus: Neljännen vuoden lopussa tilillä on rahaa 4090,81 €
Ratkaisu:
i)
| 1. vuoden alussa | [[$1000 \, €$]] |
| 1. vuoden lopussa | [[$\text{1,009} \cdot 1000 \text{ €} =1009 \text{ €} $]] |
| 2. vuoden alussa | [[$1009 \text{ €} + 1000 \text{ €} = 2009 \text{ €} $]] |
| 2. vuoden lopussa | [[$\text{1,009} \cdot 2009 \text{ €} = \text{2027,08 €} $]] |
| 3. vuoden alussa | [[$\text{2027,08 €} + 1000 \text{ €} = \text{3027,08 €}$]] |
| 3. vuoden lopussa | [[$\text{1,009} \cdot \text{3027,08 €} =\text{3054,32 €} $]] |
| 4. vuoden alussa | [[$\text{3054,32 €} + 1000 \text{ €} = \text{4054,32 €}$]] |
| 4. vuoden lopussa | [[$\text{1,009} \cdot \text{4054,32 €} = \text{4090,81 €} $]] |
Muodostetaan geometrinen jono.
| 1. vuoden alussa | [[$\text{1,009} \cdot 1000 \text{ €} $]] |
| 2. vuoden lopussa | [[$\text{1,009} \cdot (\text{1,009} \cdot 1000 \text{ €} +1000 \text{ €})$]] [[$= \text{1,009}^2 \cdot 1000 \text{ €} + \text{1,009} \cdot 1000 \text{ €}$]] |
| 3. vuoden lopussa | [[$\text{1,009} \cdot (\text{1,009}^2 \cdot 1000 \text{ €} +\text{1,009} \cdot 1000 \text{ €} +1000 \text{ €})$]] [[$=\text{1,009}^3 \cdot 1000 \text{ €} + \text{1,009}^2 \cdot 1000 \text{ €} + \text{1,009} \cdot 1000 \text{ €}$]] |
| 4. vuoden lopussa | [[$\text{1,009}^4 \cdot 1000 \text{ €} + \text{1,009}^3 \cdot 1000 \text{ €} + \text{1,009}^2 \cdot 1000 \text{ €} + \text{1,009} \cdot 1000 \text{ €}$]] [[$ = 1000 \text{ €} \cdot (\text{1,009}^4 +\text{1,009}^3 + \text{1,009}^2 +\text{1,009}) $]] [[$=\text{4090,81 €}$]] |
Muodostetaan geometrinen summa [[$ (\text{1,009}^4+\text{1,009}^3+\text{1,009}^2+\text{1,009}) $]]:sta.
[[$ \begin{align}q&=\text{1,009}\\a_1&=\text{1,009}\\a_2&=\text{1,009} \cdot \text{1,009}=\text{1,009}^2\\n&=4\\S_n&=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\\&=\frac{\text{1,009}(1-\text{1,009}^4)}{1-\text{1,009}}\\&=\text{4,09081}\end{align} $]]
Tällöin [[$ 1000 \,€ \cdot \text{4,09081}=\text{4090,81}\,€ $]]
Vastaus: Neljännen vuoden lopussa tilillä on rahaa 4090,81 €
