Määritä lukujonolle [[$ 1, 4, 8,... $]]​ kolme erilaista sääntöä ja säännön perusteella jonon neljäs jäsen. Ilmoita myös, onko sääntö analyyttinen vai rekursiivinen.

Ratkaisu:
i) Ensimmäiseen lukuun lisätään 3 ja toiseen 4. Tällöin kolmanteen lukuun lisätään 5 ja saadaan [[$ a_4=8+5=13 $]]​.

[[$ n $]]​	[[$ a_n $]]		Sääntö
[[$ 1 $]]	[[$ 1 $]]
[[$ 2 $]]	[[$ 4 $]]	[[$ = 1+3 $]]	[[$ a_{n-1} +3 $]]
[[$ 3 $]]	[[$ 8 $]]	[[$ =4+4 $]]	[[$ a_{n-1} +4 $]]
[[$ 4 $]]	[[$ 13 $]]	[[$ =8+5 $]]	[[$ a_{n-1} +5 $]]
[[$ n $]]	[[$ a_n $]]		[[$ a_{n-1} + n +1 $]]

Rekursiivinen sääntö on
[[$ \left\{ \begin{array}{l }a_1=1 \\a_n=a_{n-1}+n+1 & \quad n=2,3,4,...\end{array} \right.$]]

ii) Taulukoidaan annetut jäsenet ja muodostetaan niistä sääntö.

[[$ n $]]​	[[$ a_n $]]		Sääntö
1	[[$ 1 $]]
2	[[$ 4 $]]	[[$ =1 \cdot 2^2 $]]	[[$ 1 \cdot 2^n $]]
3	[[$ 8 $]]	[[$ =1 \cdot 2^3 $]]
4	[[$ 16 $]]	[[$ =1 \cdot 2^4 $]]
[[$ n $]]	[[$ a_n $]]		[[$ a_1 \cdot 2^n $]]

Analyyttinen sääntö on
[[$ \left\{ \begin{array}{l }a_1=1 \\a_n=a_1 \cdot 2^n & \quad n=2,3,4,...\end{array} \right.$]]

iii) Taulukoidaan annetut jäsenet ja muodostetaan niistä uusi sääntö.

[[$ n $]]​	[[$ a_n $]]		Sääntö
1	[[$ 1 $]]
2	[[$ 4 $]]	[[$ =1 \cdot 4= 1 \cdot 2^2 $]]	[[$ a_{n-1} \cdot 2^2 $]]
3	[[$ 8 $]]	[[$ =4 \cdot 2=4 \cdot 2^1 $]]	[[$ a_{n-1} \cdot 2^1 $]]
4	[[$ 8 $]]	[[$ =8 \cdot 1=8 \cdot 2^0 $]]	[[$ a_{n-1} \cdot 2^0 $]]
[[$ n $]]	[[$ a_n $]]		[[$ a_{n-1} \cdot 2^{4-n} $]]

Rekursiivinen sääntö on
[[$ \left\{ \begin{array}{l }a_1=1 \\a_n=a_{n-1} \cdot 2^{4-n} & \quad n=2,3,4,...\end{array} \right.$]]

Vastaus:
i) [[$ a_4=13 $]]. Rekursiivinen sääntö on
[[$ \left\{ \begin{array}{l }a_1=1 \\a_n=a_{n-1}+n+1 & \quad n=2,3,4,...\end{array} \right.$]]

ii) [[$ a_4=16 $]]. Analyyttinen sääntö on
[[$ \left\{ \begin{array}{l }a_1=1 \\a_n=a_1 \cdot 2^n & \quad n=2,3,4,...\end{array} \right.$]]

iii) [[$ a_4=8 $]]. Rekursiivinen sääntö on
[[$ \left\{ \begin{array}{l }a_1=1 \\a_n=a_{n-1} \cdot 2^{4-n} & \quad n=2,3,4,...\end{array} \right.$]]