3. Suora

Suoran suunta

$Suoran\ yhtälö\ y:n\ suhteen\ ratkaistussa\ muodossa\ on\ yleisesti$

$y=kx+b$

k on kulmakerroin, joka kertoo suoran suunnan ja vakiotermi b kertoo, missä suora leikkaa y-akselin

$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}{,}\ kun\ suora\ kulkee\ pisteiden\ \left(x_{1{,}\ }y_1\right)\ ja\ \left(x_2{,}\ y_2\right)\ kautta$
$Jos\ k\ \gt 0{,}\ niin\ suora\ on\ nouseva\ ja\ jos\ k\lt 0\ niin\ suora\ on\ laskeva$

$Huom!\ Jos\ k=0\ niin\ suora\ on\ x-akselin\ suuntainen$

Esim

$Suora\ kulkee\ pisteiden\ \left(-1{,}\ 2\right)\ ja\ \left(3{,}\ -5\right)\ kautta.\ Määritä\ suoran\ kulma\ker roin$

$k=\frac{-5-2}{3-\left(-1\right)}=-\frac{7}{4}$

Suoran suuntakulma

Kotitehtävät
Maa4,1 (6.3.): 301-303 ja 252

Maa4,2 (10.3.): 308, 312 (ei tarvi tarkkaa arvoa), 314 ja 315

Suoran yhtälön määrittäminen

Suoran yhtälö voidaan määrittää, jos tiedetään suoran kulmakerroin ja yksi suoran piste tai kaksi suoran pistettä.

Määritetään suoran kulmakerroin

$k=\frac{5-1}{5-\left(-3\right)}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$

Tapa 1:

$käytetään\ suoran\ yhtälöä\ \ \ \ y=kx+b$
$Nyt\ \ y=\frac{1}{2}x+b$
$vakio\ b\ saadaan{,}\ kun\ sijoitetaan\ suoran\ piste\ esim\ \left(5{,}\ 5\right)\ suoran\ yhtälöön$
$5=\frac{1}{2}\cdot5+b\ \ \ \ \Leftrightarrow\ \ 5-\frac{5}{2}=b\ \ \ \ \Leftrightarrow\ \ b=\frac{5}{2}\left(=2\ \frac{1}{2}\right)$
$nyt\ suoran\ yhtälö\ on\ y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$

Määritä pisteiden (-2, 3) ja (3, -4) kautta kulkevan suoran yhtälö

$k=\frac{-4-3}{3-\left(-2\right)}=-\frac{7}{5}\$

$y=-\frac{7}{5}x+b\ \left(y=kx+b\right)$
$\left(-2{,}\ 3\right):\ 3=-\frac{7}{5}\cdot\left(-2\right)+b$
$3=\frac{14}{5}+b\ \ \$
$3-\frac{14}{5}=b$
$b=\frac{15}{5}-\frac{14}{5}=\frac{1}{5}$
$y=-\frac{7}{5}x+\frac{1}{5}$

Kotitehtävät (MAA4,1): 324 - 327

Määritä pisteiden A=(2, 3) ja B=(5, -1) kautta kulkevan suoran yhtälö.

$suoran\ kulma\ker roin\ k=\frac{-1-3}{5-2}=-\frac{4}{3}$

$käytetään\ yhtälöä\ y=kx+b\ eli\ nyt\ y=-\frac{4}{3}x+b$
$sijoitetaan\ tähän\ esim\ pisteen\ \left(2{,}\ 3\right)\ koordinaatit:$
$3=-\frac{4}{3}\cdot2+b\ \ \ \Leftrightarrow\ \ 3+\frac{8}{3}=b\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{17}{3}=b$
$eli\ suoran\ yhtälö\ on\ \ \ y=-\frac{4}{3}x+\frac{17}{3}$

$toinen\ tapa:\ suoran\ yhtälön\ määrittämisessä\ voidaan\ käyttää\ myös\$
$muotoa\ y-y_0=k\left(x-x_0\right){,}\ jossa\ k\ on\ kulma\ker roin\ \ ja\ \left(x_0{,}\ y_0\ \right)\ on\ suoran\ piste$
$Nyt\ k=-\frac{4}{3}\ ja\ \left(x_0{,}\ y_0\right)=\left(5{,}-1\right)\ \left(tai\ voidaan\ ottaa\ myös\ \left(2{,}\ 3\right)\right)$
$sijoitetaan\ nämä\ yhtälöön\ y-y_0=k\left(x-x_0\right)$
$y-\left(-1\right)=-\frac{4}{3}\left(x-5\right)$

sievennetään ja ratkaistaan y:n suhteen

$y+1=-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}$

$y=-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}-1$
$y=-\frac{4}{3}x+\frac{17}{3}$

Suoran yhtälön ratkaistu muoto y = kx + b voidaan muokata myös ns yleiseen tai normaalimuotoon

$ax+by+c=0{,}\ missä\ a{,}\ b\ ja\ c\ ovat\ kokonaislukuja$

$Muunnetaan\ y:n\ suhteen\ ratkaistu\ muoto\ y=-\frac{4}{3}x+\frac{17}{3}\ normaa\lim uotoon$
$\frac{4}{3}x+y-\frac{17}{3}=0\ \ \mid\cdot3$
$4x+3y-17=0$

Esim

Esitä suoran yhtälö 2x + 3y -6 = 0 ratkaistussa muodossa

$ratkaistaan\ yhtälö\ y:n\ suhteen$

$3y=-2x+6\ \ \mid:\ 3$
$y=-\frac{2}{3}x+2\ \ \ \ \Rightarrow\ k=-\frac{2}{3}\ ja\ b=2\ eli\ suora\ leikkaa\ y-akselin\ pisteessä\ \left(0{,}\ 2\right)$

Huom!

$y-akselin\ suuntainen\ suora\ on\ muotoa\ x=vakio\ ja$

$x-akselin\ suutainen\ suora\ on\ muotoa\ y=vakio$

Suora kulkee pisteiden (-3, 7) ja (6, 1) kautta. Muodosta suoran yhtälö. Onko piste (12, -3) tällä suoralla?

$k=\frac{7-1}{-3-6}=-\frac{6}{9}=-\frac{2}{3}$

suoran yhtälö

$y=-\frac{2}{3}x+b\ johon\ sijoitetaan\ esim\ pisteen\ \left(6{,}\ 1\right)\ koordinaatit$
$1=-\frac{2}{3}\cdot6+b\ \ \ \ \Leftrightarrow1=-4+b\ \ \ \Leftrightarrow\ b=5$
$y=-\frac{2}{3}x+5$
$Onko\ piste\ \left(12{,}\ -3\right)\ suoralla?\ On{,}\ jos\ pisteen\ koord\ toteuttavat\ suoran\ yhtälön$
$-3=-\frac{2}{3}\cdot12+5\ \ \ \Leftrightarrow\ \ -3=-3\ \Rightarrow\ piste\ on\ suoralla$

Suora kulkee pisteen (1, -2) kautta ja on yhdensuuntainen suoran x - 2y + 3 = 0 kanssa. Määritä suoran yhtälö.

Määritettävän suoran kulmakerroin on sama kuin annetun suoran kulmakerroin.

$muokataan\ suoran\ x-2y+3=0\ yhtälö\ ratkaistuun\ muotoon\ \left(y=kx+b\right)$

$2y=x+3\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\ \ \Rightarrow\ k=\frac{1}{2}\ \left(ja\ b=\frac{3}{2}\right)$

$suoran\ yhtälö{,}\ kun\ k=\frac{1}{2}\ ja\ \left(1{,}-2\right)$

Suorien leikkauspiste ja suorien välinen kulma

- kaksi suoraa leikkaavat toisensa, jos niillä on eri kulmakertoimet

- jos suorat ovat yhdensuuntaiset (eli kulmakertoimet ovat samat) niin suorilla ei ole leikkauspistettä

Määritä suorien x + 3y + 2 = 0 ja 2x - y - 10 = 0 leikkauspiste.

Ratkaistaan yhtälöpari

$\begin{cases} x+3y+2=0&\\ 2x-y-10=0&\mid\cdot3\ \left(yhteenlaskukeino\right) \end{cases}$

$\begin{cases} x+3y+2=0&\\ 6x-3y-30=0& \end{cases}$

$\ \ 7x-28=0\ \ \Leftrightarrow7x=28\ \ \Leftrightarrow x=4\ \left(suorien\ leikkauspisteen\ x-koord\right)$

Sijoitetaan x = 4 jompaan kumpaan suoran yhtälöön

$2\cdot4-y-10=0\ \ \Leftrightarrow\ \ -2=y$
$V:\ leikkauspiste\ on\ \left(4{,}-2\right)$

Huom! Voidaan käyttää myös sijoitusmenetelmää, jossa esim alemmasta ratkaistaan y = 2x-10, joka sijoitetaan ylempään yhtälöön y:n paikalle

$x+3\cdot\left(2x-10\right)+2=0$

$x+6x-30+2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ 7x=28\ \ \Leftrightarrow\ x=4$

Suorien kulmakertoimet saadaan selville, kun molemmat ratkaistaan y:n suhteen

$x+3y+2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ 3y=-x-2\ \ \mid:3\ \ \Leftrightarrow\ y=-\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}\ \ \Rightarrow k=-\frac{1}{3}$

$2x-y-10=0\ \ \Leftrightarrow\ \ 2x-10=y\ \ \Rightarrow\ k=2$

Suorien välinen kulma voidaan määrittää suorien kulmakertoimien avulla

$Suorien\ y=k_1x+b_1\ ja\ y=k_2x+b_2\ välisen\ kulman\ \alpha\ \tan gentti{,}\ eli\ \tan\alpha$

$lasketaan\ seuraavasti\ suorien\ kulma\ker toimien\ avulla:$
$\tan\alpha=\left|\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}\right|$

Kun kulmakertoimien avulla on saatu laskettua itseisarvolausekkeen arvo niin laskimella saadaan suorien välinen kulma α.

Määritä suorien y = 2x + 5 ja 2x + 3y - 6 = 0 välinen kulma.

$y=2x+5\ \ \ \Rightarrow\ k_1=2$

$toisen\ suoran\ kulma\ker roin\ k_2$
$2x+3y-6=0\ \ \ \Leftrightarrow\ 3y=-2x+6\ \ \Leftrightarrow\ \ y=-\frac{2}{3}x+2\ \ \Rightarrow k_2-\frac{2}{3}$

$\tan\varphi=\left|\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}\right|=\left|\frac{2-\left(-\frac{2}{3}\right)}{1+2\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)}\right|=\left|\frac{\frac{8}{3}}{-\frac{1}{3}}\right|=\left|-8\right|=8$
$eli\ \tan\varphi=8\ \ \ \Rightarrow\ \ \varphi\approx82{,}9°$

Kotitehtävät
ryhmä Maa4.1 (17.3.): 347, 349 ja 352a
ryhmä Maa4.1 (19.3.): 347, 349 ja 352a

Suorien kohtisuoruus ja pisteen etäisyys suorasta

Jos kaksi suoraa ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan niin sanotaan, että toinen suoran on toisen suoran normaali. Eli normaali on suora, joka on kohtisuorassa toista suoraa vastaan.

Kaksi suoraa ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, jos suorien kulmakertoimien tulo on -1

eli

$kohtisuoruusehto:\ k_1k_2=-1$

Jos tiedetään toisen suoran kulmakerroin niin toisen kulmakerroin selvitetään kohtisuoruusehdosta, jos suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Jos toisen suoran kulmakerroin

$k_1=\frac{2}{3}\ niin\ sen\ suoran{,}\ joka\ on\ tätä\ suoraa\ vastaan\ kohtisuorassa{,}\ kulma\ker roin$

$k_2\ saadaan\ ehtosta\ k_1k_2=-1$
$eli\ \frac{2}{3}\cdot k_2=-1\ \ \Rightarrow k_2=-\frac{3}{2}$

Määritä sen suoran yhtälö, joka kulkee pisteen (1, 9) kautta, ja joka on kohtisuorassa suoraan

3x - 4y + 8 = 0 vastaan. (joka on suoran normaali).

Pisteen etäisyys suorasta

Tarkastellaan suoraa, jonka yhtälö on ax + by + c = 0 (suoran yhtälön yleinen muoto)

$Pisteen\ P\ =\left(x_0{,}\ y_0\right)\ etäisyys{,}\ d\ tästä\ suorasta\ voidaan\ laskea\ seuraavan\ lausekkeen\ avulla$

$d=\frac{\left|ax_0+by_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Esimerkkejä

Laske pisteen (-4, 2) etäisyys suorasta, kun suoran yhtälö on

$y=-\frac{2}{3}x+3$

Pisteistä (-2, 6) ja (3, 1) piirretään kaksi normaalia suoralle 3x - y + 4 = 0. Laske näiden normaalien välinen etäisyys.

Laske suorien x - y = 7 ja 2x + 5y = 7 leikkauspisteen etäisyys pisteiden A= ( 2, 7) ja

B= (-1, -2) kautta kulkevasta suorasta.

371.

Janan keskinormaali on suora, joka kulkee janan keskipisteen kautta, ja joka on kohtisuorassa janaa vastaan.