Suoran yhtälön määrittäminen

Suoran yhtälö voidaan määrittää, jos tiedetään suoran kulmakerroin ja yksi suoran piste tai kaksi suoran pistettä.

Määritetään suoran kulmakerroin

$k=\frac{5-1}{5-\left(-3\right)}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$

Tapa 1:

$käytetään\ suoran\ yhtälöä\ \ \ \ y=kx+b$
$Nyt\ \ y=\frac{1}{2}x+b$
$vakio\ b\ saadaan{,}\ kun\ sijoitetaan\ suoran\ piste\ esim\ \left(5{,}\ 5\right)\ suoran\ yhtälöön$
$5=\frac{1}{2}\cdot5+b\ \ \ \ \Leftrightarrow\ \ 5-\frac{5}{2}=b\ \ \ \ \Leftrightarrow\ \ b=\frac{5}{2}\left(=2\ \frac{1}{2}\right)$
$nyt\ suoran\ yhtälö\ on\ y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$

Määritä pisteiden (-2, 3) ja (3, -4) kautta kulkevan suoran yhtälö

$k=\frac{-4-3}{3-\left(-2\right)}=-\frac{7}{5}\$

$y=-\frac{7}{5}x+b\ \left(y=kx+b\right)$
$\left(-2{,}\ 3\right):\ 3=-\frac{7}{5}\cdot\left(-2\right)+b$
$3=\frac{14}{5}+b\ \ \$
$3-\frac{14}{5}=b$
$b=\frac{15}{5}-\frac{14}{5}=\frac{1}{5}$
$y=-\frac{7}{5}x+\frac{1}{5}$

Kotitehtävät (MAA4,1): 324 - 327

Määritä pisteiden A=(2, 3) ja B=(5, -1) kautta kulkevan suoran yhtälö.

$suoran\ kulma\ker roin\ k=\frac{-1-3}{5-2}=-\frac{4}{3}$

$käytetään\ yhtälöä\ y=kx+b\ eli\ nyt\ y=-\frac{4}{3}x+b$
$sijoitetaan\ tähän\ esim\ pisteen\ \left(2{,}\ 3\right)\ koordinaatit:$
$3=-\frac{4}{3}\cdot2+b\ \ \ \Leftrightarrow\ \ 3+\frac{8}{3}=b\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{17}{3}=b$
$eli\ suoran\ yhtälö\ on\ \ \ y=-\frac{4}{3}x+\frac{17}{3}$

$toinen\ tapa:\ suoran\ yhtälön\ määrittämisessä\ voidaan\ käyttää\ myös\$
$muotoa\ y-y_0=k\left(x-x_0\right){,}\ jossa\ k\ on\ kulma\ker roin\ \ ja\ \left(x_0{,}\ y_0\ \right)\ on\ suoran\ piste$
$Nyt\ k=-\frac{4}{3}\ ja\ \left(x_0{,}\ y_0\right)=\left(5{,}-1\right)\ \left(tai\ voidaan\ ottaa\ myös\ \left(2{,}\ 3\right)\right)$
$sijoitetaan\ nämä\ yhtälöön\ y-y_0=k\left(x-x_0\right)$
$y-\left(-1\right)=-\frac{4}{3}\left(x-5\right)$

sievennetään ja ratkaistaan y:n suhteen

$y+1=-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}$

$y=-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}-1$
$y=-\frac{4}{3}x+\frac{17}{3}$

Suoran yhtälön ratkaistu muoto y = kx + b voidaan muokata myös ns yleiseen tai normaalimuotoon

$ax+by+c=0{,}\ missä\ a{,}\ b\ ja\ c\ ovat\ kokonaislukuja$

$Muunnetaan\ y:n\ suhteen\ ratkaistu\ muoto\ y=-\frac{4}{3}x+\frac{17}{3}\ normaa\lim uotoon$
$\frac{4}{3}x+y-\frac{17}{3}=0\ \ \mid\cdot3$
$4x+3y-17=0$

Esim

Esitä suoran yhtälö 2x + 3y -6 = 0 ratkaistussa muodossa

$ratkaistaan\ yhtälö\ y:n\ suhteen$

$3y=-2x+6\ \ \mid:\ 3$
$y=-\frac{2}{3}x+2\ \ \ \ \Rightarrow\ k=-\frac{2}{3}\ ja\ b=2\ eli\ suora\ leikkaa\ y-akselin\ pisteessä\ \left(0{,}\ 2\right)$

Huom!

$y-akselin\ suuntainen\ suora\ on\ muotoa\ x=vakio\ ja$

$x-akselin\ suutainen\ suora\ on\ muotoa\ y=vakio$

Suora kulkee pisteiden (-3, 7) ja (6, 1) kautta. Muodosta suoran yhtälö. Onko piste (12, -3) tällä suoralla?

$k=\frac{7-1}{-3-6}=-\frac{6}{9}=-\frac{2}{3}$

suoran yhtälö

$y=-\frac{2}{3}x+b\ johon\ sijoitetaan\ esim\ pisteen\ \left(6{,}\ 1\right)\ koordinaatit$
$1=-\frac{2}{3}\cdot6+b\ \ \ \ \Leftrightarrow1=-4+b\ \ \ \Leftrightarrow\ b=5$
$y=-\frac{2}{3}x+5$
$Onko\ piste\ \left(12{,}\ -3\right)\ suoralla?\ On{,}\ jos\ pisteen\ koord\ toteuttavat\ suoran\ yhtälön$
$-3=-\frac{2}{3}\cdot12+5\ \ \ \Leftrightarrow\ \ -3=-3\ \Rightarrow\ piste\ on\ suoralla$

Suora kulkee pisteen (1, -2) kautta ja on yhdensuuntainen suoran x - 2y + 3 = 0 kanssa. Määritä suoran yhtälö.

Määritettävän suoran kulmakerroin on sama kuin annetun suoran kulmakerroin.

$muokataan\ suoran\ x-2y+3=0\ yhtälö\ ratkaistuun\ muotoon\ \left(y=kx+b\right)$

$2y=x+3\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\ \ \Rightarrow\ k=\frac{1}{2}\ \left(ja\ b=\frac{3}{2}\right)$

$suoran\ yhtälö{,}\ kun\ k=\frac{1}{2}\ ja\ \left(1{,}-2\right)$