4. Ympyrä

Ympyrän yhtälöt

Ympyrän yhtälö keskipistemuodossa

Ympyrän keskipiste on A(x₀, y₀) ja yleinen kehän piste B(x, y)
Ympyrän määritelmän mukaan ympyrän kehän jokainen piste B(x, y) on säteen r etäisyydellä ympyrän keskipisteestä A(x₀, y₀) eli säde on pisteiden A ja B välinen etäisyys (janan AB pituus)

$r=AB$
$r=\sqrt{\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2}$
$r^2=\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0^{ }\right)^2$
$eli\ ympyrän\ yhtälö\ keskipistemuodossa{,}\ jossa\ keskipiste\ on\ \left(x_0{,}\ y_0\right)\ ja\ säde\ r\ on$
$\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2=r^2$

Olkoon ympyrän keskipiste (3, 2) ja säde r = 3. Nyt ympyrän yhtälö voidaan kirjoittaa keskipistemuotoon

$\left(x-3\right)^2+\left(y-2\right)^2=3^2$

$Mikä\ on\ ympyrän\ keskipiste\ ja\ säde{,}\ kun\ ympyrän\ yhtälö\ on\ \left(x+2\right)^2+\left(y-4\right)^2=10$
$x+2=0{,}\ kun\ x=-2\ ja\ y-4=0{,}\ kun\ y=4\ \ \Rightarrow\ keskipiste\ on\ \left(-2{,}\ 4\right)$
$säde\ r=\sqrt{10}{,}\ sillä\ r^2=10$

Kotitehtävät (ryhmä 4.1): 406, 408, 409 ja 414
Kotitehtävät (ryhmä 4.2): 408, 409 ja 414

Ympyrän keskipistemuotoinen yhtälö voidaan muokata myös ns. normaalimuotoon avaamalla sulkeet (binomin neliöt) ja ryhmittelemällä termit yhtälön vasemmalle puolelle (oikealle puolelle jää nolla)

$\left(x+2\right)^2+\left(y-4\right)^2=5\ \ \left(\Rightarrow keskipiste\ on\ \left(-2{,}\ 4\right)\ ja\ r=\sqrt{5}\right)$

$Huom!\ \left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2$

$x^2+4x+4+y^2-8y+16=5$

$x^2+y^2+4x-8y+15=0$

Tämä on kyseisen ympyrän yhtälö normaalimuodossa

Yleisesti ympyrän yhtälö normaalimuodossa on

$x^2+y^2+ax+by+c=0{,}\ jossa\ a{,}\ b\ ja\ c\ ovat\ vakioita$

Ympyrän yhtälön muokkaaminen keskipistemuodosta yleiseen eli normaalimuotoon on helpohkoa, jossa käytetään vain binomin neliötä.

$\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=4$

$x^2-4x+4+y^2-2y+1=4$
$x^2+y^2-4x-2y+1=0$

Kun ympyrän yhtälöä muokataan yleisestä muodosta keskipistemuotoon, joudutaan täydentämään binomin neliöksi. Tämä on hieman työläämpää.

esim jos ympyrän yhtälö on normaali- eli yleisessä muodossa seuraava:

$x^2+y^2+6x-8y+20=0$

ryhmitellään termit siten, että x- ja y-termit ovat peräkkäin ja vakiotermi siirretään oikealle puolle

$x^2+6x+y^2-8y=-20$

Nyt yhtälö joudutaan täydentämään binomin neliöksi sekä x:n että y:n suhteen, jolloin joudutaan yhtälön molemmille puolille lisäämään sopivia lukuja (jotta saadaan binomin neliö)

$x^2+6x+3^2+y^2-8y+4^2=-20+3^2+4^2$
$\left(x+3\right)^2+\left(y-4\right)^2=5\ \ \Rightarrow\ keskipiste\ on\ \left(-3{,}\ 4\right)\ ja\ r=\sqrt{5}$

Kotitehtävät (Maa4,1) : 430, 431 ja 433

Kotitehtävät (Maa4,2): 428, 431 ja 433

Kotitehtävät (Maa4,1): 428 (441), 451 ja 457

Kotitehtävät (Ma4,2): 436, 438 ja 452

Suora ja ympyrä

Määritä ympyrän keskipiste ja säde, kun ympyrän yhtälö on
$x^2+y^2+6x-7=0$
$x^2+2\cdot3\cdot x+3^2+y^2=7+3^2$
$\left(x+3\right)^2+y^2=16\ \ \ \Rightarrow\ keskipiste\ on\ \left(-3{,}\ 0\right)\ ja\ r=4$
Mikä on suoran y = -x + 6 etäisyys ympyrästä (ympyrän kehästä)?

Lasketaan ensin ympyrän keskipisteen (-3, 0) etäisyys suorasta x + y - 6 = 0

$d=\frac{\left|-3+0-6\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{9}{\sqrt{2}}\approx6{,}3$

$Nyt\ suoran\ ja\ ympyrän\ etäisyys\ on\ d-r=\frac{9}{\sqrt{2}}-4\approx2{,}3$

Jos d < r niin suora leikkaa ympyrän kahdessa pisteessä

Jos d > r niin suora ja ympyrä eivät leikkaa (suora on ympyrän ulkopuolella)

Jos d = r niin suora sivuaa ympyrää (suoralla ja ympyrällä on yksi leikkauspiste eli sivuamispiste). Tällöin sanotaan, että suora on ympyrän tangentti.

Määritä suoran x + y - 3 = 0 ja ympyrän
$x^2+y^2+6x-9=0\ leikkauspisteet.$

Kyseessä on yhtälöparin ratkaiseminen

$\begin{cases} x+y-3=0\ \ \ \Rightarrow\ \ y=3-x&\\ x^2+y^2+6x-9=0& \end{cases}$

$x^2+\left(3-x\right)^2+6x-9=0$
$x^2+9-6x+x^2+6x-9=0$
$2x^2=0\ \ \ \Leftrightarrow x^2=0\ \ \ \Leftrightarrow\ x=0$
$nyt\ y=3-0=3$
$leikkauspiste\ tai\ oikeastaan\ sivuamispiste\ on\ \left(0{,}\ 3\right)$

Ympyrän tangentin ominaisuuksia

1. Tangentilla ja ympyrällä on yksi yhteinen piste, sivuamispiste.

2. Ympyrän keskipisteen etäisyys tangentista (suora) on ympyrän säde. (Ympyrän keskipiste on säteen etäisyydellä tangentista). Tällä on helppo osoittaa, että suora on ympyrän tangentti.

3. Jos ympyrän säde piirretään ympyrän ja tangentin sivuamispisteeseen niin säde on aina kohtisuorassa tangettia vastaan. Tässä voidaan käyttää kohtisuoruusehtoa: säteen ja tangentin kulmakertoimien tulo on -1.

$k_rk_t=-1$

Kotitehtävät (Maa4,1) : 462 ja 464

Kotitehtävät (Maa4,2): 453, 464a ja 468b (näytä, että piste on ympyrän kehällä)

Kotitehtävät (Maa4,1) : 459 ja 465

Kotitehtävät (Maa4,2): 463 ja 469