7. Pistetulo ja geometriaa vektoreilla

Pistetulo

Vektoreiden välinen kulma

Tulkitaan geometrisesti siten, että vektorit piirretään alkamaan samasta pisteestä

Kun lasketaan vektoreiden välistä kulmaa niin siinä käytetään apuna vektoreiden pistetuloa

Määritellään kahden vektorin pistetulo

$Olkoon\ vektorit\ \overline{a}=x_1\overline{\text{i}}+y_1\overline{\text{j}}=\binom{x_1}{y_1}\ ja\ \overline{b}=x_2\overline{\text{i}}+y_2\overline{\text{j}}=\binom{x_2}{y_2}$
$Nyt\ vektoreiden\ pistetulo{,}\ \overline{a}\cdot\overline{b}=x_1x_2+y_1y_2$

$esim\ jos\ \overline{a}=3\overline{\text{i}}-2\overline{\text{j}}\ ja\ \overline{b}=i+4\overline{\text{j}}$
$pistetulo\ \overline{a}\cdot\overline{b}=3\cdot1+\left(-2\right)\cdot4=-5$

Vektoreiden välinen kulman laskeminen

Vektoreiden välinen kulma on helppo määrittää pistetulon avulla. Pistetulon määritelmä

$\overline{a}\cdot\overline{b}=\left|\overline{a}\right|\cdot\left|\overline{b}\right|\cdot\cos\alpha{,}\ jossa\ \alpha\ on\ \overline{a}:n\ ja\ \overline{b}:n\ välinen\ kulma$

Kun tästä määritelmästä ratkaistaan cos α, saadaan

$\cos\alpha=\frac{\overline{a}\cdot\overline{b}}{\left|\overline{a}\right|\left|\overline{b}\right|}$

Esim

$Vektorit\ \overline{a}=2\overline{\text{i}}+3\overline{\text{j}}\ \left(=\binom{2}{3}\right)\ ja\ \overline{b}=-4\overline{\text{i}}+3\overline{\text{j}}\left(=\binom{-4}{3}\right)$

Nyt voidaan laskea vektoreiden pistetulo ja vektoreiden pituudet

$\overline{a}\cdot\overline{b}=2\cdot\left(-4\right)+3\cdot3=1\ sekä\ \left|\overline{a}\right|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\ \ ja\ \overline{b}=\sqrt{\left(-4\right)^2+3^2}=5$
$\cos\alpha=\frac{\overline{a}\cdot\overline{b}}{\left|\overline{a}\right|\left|\overline{b}\right|}=\frac{1}{\sqrt{13}\cdot5}\ \ \Rightarrow\ laskimella\ \alpha\approx86{,}8°$

Huom!

$Jos\ \overline{a}\cdot\overline{b}>0{,}\ niin\ \alpha\ on\ terävä\ ja\ jos\ \overline{a}\cdot\overline{b}<0{,}\ niin\ \alpha\ on\ tylppä$

$Erityisesti\ jos\ \overline{a}\cdot\overline{b}=0\ niin\ \alpha=90°\ \left(suora\ kulma\right)$

$Vektoreiden\ kohtisuoruusehto:\ \overline{a}\ \perp\ \overline{b}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \overline{a}\cdot\overline{b}=0$

Kotitehtävät (MAA4,2): 676, 701 ja 702

Kotitehtävät (MAA4,2): 714, 712 ja 710

Kotitehtävät (MAA4,1): 707, 709 ja 714

Kotitehtävät (MAA4,2): 739, 741 ja 743

Kotitehtävät (MAA4,1): 714, 719 ja 736

Kotitehtävät: 745 ja 747