5. Paraabeli

Paraabelin yhtälö

Paraabelin yhtälö yleisessä muodossa, kun paraabeli aukeaa ylös tai alaspäin, on

$y=ax^2+bx+c$
$Kurssilla\ 2\ tarkasteltiin\ 2.\ asteen\ yhtälöitä\ ax^2+bx+c=0$

Kyseinen 2. asteen yhtälö saadaan, kun määritetään paraabelin nollakohtia (paraabelin ja x-akselin leikkauskohtia), jossa y=0

Paraabelin aukeamissuunnan määrää a (x^2-termin kerroin)

Jos a > 0 paraabeli aukeaa ylöspäin ja vastaavasti alaspäiaukeavalle paraabelille a < 0

Paraabelin yhtälön määrittäminen

PParaabelilla on huippu ja symmetria-akseli (kulkee huipun kautta). Ylös- tai alaspäin aukeava paraabeli on symmetrinen huipun kautta kulkevan y-akselin suuntaisen suoran suhteen.

Jos tiedetään paraabelin huippu niin paraabeli yhtälön määrittämisessä käytetään paraabeli yhtälön huippumuotoa

$Jos\ huippu\ on\ \left(x_0{,}\ y_0\right)\ niin\ paraabelin\ yhtälö\ on\ muotoa$

$y-y_0=a\left(x-x_0\right)^2$

Lisäksi on tiedettävä yksi ylimääräinen paraabelin piste, jonka avulla saadaan vakio a selvitettyä

esimerkki

Paraabelin huippu on (-3, 1) ja lisäksi paraabeli kulkee pisteen (-2, -1) kautta. Määritä paraabelin yhtälö.

$Nyt\ \left(x_0{,}\ y_0\right)=\left(-3{,}\ 1\right)\ \Rightarrow\ huippumuoto\ y-1=a\left(x+3\right)^2$
$Lisäksi\ piste\ \left(-2{,}\ -1\right)\ toteuttaa\ paraabelin\ yhtälön{,}\ jolloin\ saadaan\ yhtälö$
$-1-1=a\left(-2+3\right)^2\ \ \Leftrightarrow-2=a\cdot1^2\ \ \Leftrightarrow a=-2\ \left(aukeaa\ alaspäin\right)$
$sijoitetaan\ vielä\ a=-2\ huippumuotoon:$
$y-1=-2\left(x+3\right)^2$
$Yleensä\ paraabelin\ yhtälö\ annetaan\ yleisessä\ muodossa\ eli\ muokataan\ huippumuotoista\ yhtälöä$

$y-1=-2\left(x^2+6x+9\right)\ \Leftrightarrow y-1=-2x^2-12x-18$

$\Leftrightarrow y=-2x^2-12x-17$

Huom! Jos paraabelin huippua ei tiedetä niin on tunnettava kolme paraabelin pistettä, jolloin paraabelin yhtälön määrittäminen aloitetaan yleisestä muodosta

$y=ax^2+bx+c$

Tähän yhtälöön sijoitetaan jokaisen kolmen pisteen koordinaatit, jolloin saadaan yhtälöryhmä, jonka ratkaisut ovat a, b ja c

Määritä suoran ja paraabelin leikkauspisteet, kun

$suoran\ yhtälö\ on\ 2x-y-1=0\ ja\ paraabelin\ yhtälö\ y=-2x^2+4x+3$

$\begin{cases} 2x-y-1=0&\\ y=-2x^2+4x+3& \end{cases}$

Kotitehtävät: 505, 469
Kotitehtävät (Maa4,1): 508, 510 ja 515

Paraabelin määritelmä

Määritelmä:

Paraabeli koostuu niistä pisteistä (x, y), joiden etäisyys paraabelin polttopisteestä on yhtä suuri kuin paraabelin johtosuorasta. Polttopiste on symmetria-akselilla ja johtosuora on kohtisuorassa symmetria-akselia vastaan.

Tarkastellaan paraabelia, jonka johtosuora on y = -1 ja jonka polttopiste on A(3, 2). Nyt paraabelin jokaisen pisteen B(x, y) etäisyys pisteestä A on yhtä suuri kuin johtosuorasta y = -1 (pisteestä C).
Muodostetaan näiden avulla kuvan paraabelin yhtälö.

Tarkastellaan paraabelia, jonka johtosuora on y = -1 ja jonka polttopiste on A(3, 2). Nyt paraabelin jokaisen pisteen B(x, y) etäisyys pisteestä A on yhtä suuri kuin johtosuorasta y = -1

$d_1=d_2$

$d_1\ on\ sama\ kuin\ pisteiden\ B\ ja\ A\ välinen\ etäisyys\ \left(janan\ BA\ pituus\right)$

$d_1=\sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}$

$d_2=y-\left(-1\right)=y+1\ \left(\sqrt{\left(x-x\right)^2+\left(y+1\right)^2}\right)$
$d_1=d_2$
$\sqrt{\left(x-3\right)^2+\left(y-2\right)^2}=y+1\ \ \ \parallel\left(\right)^2$
$\left(x-3\right)^2+\left(y-2\right)^2=\left(y+1\right)^2$
$x^2-6x+9+y^2-4y+4=y^2+2y+1$
$x^2-6x+12=6y\ \ \parallel:6$
$y=\frac{1}{6}x^2-x+2\ \ \left(y=ax^2+bx+c\right)$

Kotitehtävät (Maa4,2): 528 ja 530

Kotitehtävät (Maa4,1): 529a ja 530