Suorien leikkauspiste ja suorien välinen kulma

- kaksi suoraa leikkaavat toisensa, jos niillä on eri kulmakertoimet

- jos suorat ovat yhdensuuntaiset (eli kulmakertoimet ovat samat) niin suorilla ei ole leikkauspistettä

Määritä suorien x + 3y + 2 = 0 ja 2x - y - 10 = 0 leikkauspiste.

Ratkaistaan yhtälöpari

$\begin{cases} x+3y+2=0&\\ 2x-y-10=0&\mid\cdot3\ \left(yhteenlaskukeino\right) \end{cases}$

$\begin{cases} x+3y+2=0&\\ 6x-3y-30=0& \end{cases}$

$\ \ 7x-28=0\ \ \Leftrightarrow7x=28\ \ \Leftrightarrow x=4\ \left(suorien\ leikkauspisteen\ x-koord\right)$

Sijoitetaan x = 4 jompaan kumpaan suoran yhtälöön

$2\cdot4-y-10=0\ \ \Leftrightarrow\ \ -2=y$
$V:\ leikkauspiste\ on\ \left(4{,}-2\right)$

Huom! Voidaan käyttää myös sijoitusmenetelmää, jossa esim alemmasta ratkaistaan y = 2x-10, joka sijoitetaan ylempään yhtälöön y:n paikalle

$x+3\cdot\left(2x-10\right)+2=0$

$x+6x-30+2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ 7x=28\ \ \Leftrightarrow\ x=4$

Suorien kulmakertoimet saadaan selville, kun molemmat ratkaistaan y:n suhteen

$x+3y+2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ 3y=-x-2\ \ \mid:3\ \ \Leftrightarrow\ y=-\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}\ \ \Rightarrow k=-\frac{1}{3}$

$2x-y-10=0\ \ \Leftrightarrow\ \ 2x-10=y\ \ \Rightarrow\ k=2$

Suorien välinen kulma voidaan määrittää suorien kulmakertoimien avulla

$Suorien\ y=k_1x+b_1\ ja\ y=k_2x+b_2\ välisen\ kulman\ \alpha\ \tan gentti{,}\ eli\ \tan\alpha$

$lasketaan\ seuraavasti\ suorien\ kulma\ker toimien\ avulla:$
$\tan\alpha=\left|\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}\right|$

Kun kulmakertoimien avulla on saatu laskettua itseisarvolausekkeen arvo niin laskimella saadaan suorien välinen kulma α.

Määritä suorien y = 2x + 5 ja 2x + 3y - 6 = 0 välinen kulma.

$y=2x+5\ \ \ \Rightarrow\ k_1=2$

$toisen\ suoran\ kulma\ker roin\ k_2$
$2x+3y-6=0\ \ \ \Leftrightarrow\ 3y=-2x+6\ \ \Leftrightarrow\ \ y=-\frac{2}{3}x+2\ \ \Rightarrow k_2-\frac{2}{3}$

$\tan\varphi=\left|\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}\right|=\left|\frac{2-\left(-\frac{2}{3}\right)}{1+2\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)}\right|=\left|\frac{\frac{8}{3}}{-\frac{1}{3}}\right|=\left|-8\right|=8$
$eli\ \tan\varphi=8\ \ \ \Rightarrow\ \ \varphi\approx82{,}9°$

Kotitehtävät
ryhmä Maa4.1 (17.3.): 347, 349 ja 352a
ryhmä Maa4.1 (19.3.): 347, 349 ja 352a