Muita ominaisuuksia

Peilataan kulman α kehäpiste P = (x, y) y-akselin suhteen. Saadaan uusi kehäpiste, jossa y-koord säilyy samana ja x-koord muuttuu vastakkaismerkkiseksi eli uusi kehäpiste P = (-x, y), joka on kulman π - α kehäpiste. Tämän perusteella saadaan

$\sin\alpha=\sin\left(\pi-\alpha\right)\left(=y\right)$
$kulmat\ \alpha\ ja\ \pi-\alpha\ ovat\ toistensa\ \sup lementtikulmia\ \left(summa\ on\ \pi\right)$

eli kulman ja sen suplementtikulman sinit ovat yhtäsuuret.

$Toinen\ yhteys:\ \cos\left(\pi-\alpha\right)=-\cos\alpha\ \left(\cos\alpha=-\cos\left(\pi-\alpha\right)\right)$

Jos α-kulman kehäpiste P = (x, y) peilataan x-akselin suhteen niin kehäpisteen x-koord säilyy samana mutta y-koord muuttuu vastakkaismerkkiseksi eli kulman α vastakulman, -α:n kehäpiste P = (x, -y)

$kulman\ \alpha\ ja\ sen\ vastakulman\ -\alpha\ ko\sin it\ ovat\ yhtä\ suuret\ eli\$
$\cos\alpha=\cos\left(-\alpha\right)$

$Toinen\ yhteys:\ \sin\left(-\alpha\right)=-\sin\alpha$

$Nyt\ on\ helpompi\ määrittää\ esim\ \cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right)=\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}$
$Vastaavasti\ \sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)=-\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Trigonometrian perusyhtälö

$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1{,}\ jossa\ merkitään\ \sin^2\alpha=\left(\sin\alpha\right)^2$

Tässä kulman α kehäpiste P = (x, y) = (cosα, sinα) eli kyseessä on Pythagoraan lause yksikköympyrällä.

Trig perusyhtälöä joudutaan käyttämään, jos tiedetään sinα ja joudutaan määrittämään cosα (tai päinvastoin)

Esimerkki

$Tie\detään{,}\ että\ \cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{5}}\ ja\ \pi\lt \alpha\lt 2\pi.\ Määritä\ \sin\alpha\ \left(tarkka\ arvo\right).$

Mietitään, missä neljänneksessä kulma ja kehäpiste sijaitsee. Tämän avulla voidaan päätellä onko sinα > 0 vai onko sinα < 0

$\cos\alpha\lt 0\ eli\ ollaan\ joko\ II\ tai\ III-neljänneksessä\ ja$

$\pi\lt \alpha\lt 2\pi\ eli\ ollaan\ III-\ tai\ IV-neljänneksessä$
$\Rightarrow\ kulma\ ja\ sen\ kehäpiste\ on\ nyt\ III:ssa{,}\ jossa\ \sin\alpha\lt 0$

Käytetään trigonometrian perusyhtälöä

$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\ \ \ \left(\left(\sin\alpha\right)^2+\left(\cos\alpha\right)^2=1\right)$

$\sin^2\alpha+\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2=1\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin^2\alpha=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$
$\Leftrightarrow\ \sin\alpha=\pm\sqrt{\frac{4}{5}}=-\frac{2}{\sqrt{5}}$
$Kulman\ \alpha\ kehäpiste\ on\ \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}{,}-\frac{2}{\sqrt{5}}\right)$

Kotitehtävät: 147, 148 ja 151

Trigonometriassa tarvitaan sinin ja kosinin kaksinkertaisia kulmia, jotka määritellään

$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$

$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$

Kotitehtävät: 153, 154b ja 155