7. Juurifunktiot ja -yhtälöt

Juurifunktiot

Juurifunktio

Määritelmä:

$\sqrt[n]{x}=a\ \ \Leftrightarrow\ a^n=x$
$Lisäksi\ jos\ n\ on\ parillinen\ niin\ a\ \ge0\ sekä\ x\ge0$

Juurifunktiota voidaan merkitä yleisesti

$f\left(x\right)=\sqrt[n]{g\left(x\right)}{,}\ missä\ g\left(x\right)\ on\ juurrettava$

Yleisimmin n = 2 tai 3, joskus n = 4 mutta harvemmin näitä suurempi kokonaisluku

$esimerkiksi$

$a.\ \ \ f\left(x\right)=\sqrt{2x+2}$

nyt juurrettava on g(x) = 2x + 2 ja n = 2 (kyseessä neliöjuurifunktio)

funktio f on määritelty, kun 2x + 2 ≥ 0 eli x ≥ -1

$b.\ \ f\left(x\right)=\sqrt[3]{x+3}\ on\ määritelty\ kaikilla\ x:n\ arvoilla$

ja nyt f voi saada myös negatiivisia arvoja (n on 3 (pariton))

Ratkaise yhtälö

$a.\ \ \sqrt{2x+2}=4$

$2x+2=4^2\left(=16{,}\ koska\ \sqrt{16}=4\right)$
$2x=14\ \ \Leftrightarrow\ x=7$
$Huom!\ \ yhtälöllä\ \sqrt{2x+2}=-1\ ei\ ole\ ratkaisua$
$b.\ \sqrt[3]{x+3}=-2$
$x+3=\left(-2\right)^3\ \ \Leftrightarrow\ \ x=-8-3=-11$

$Juurilauseke\ \sqrt[n]{g\left(x\right)}\ on\ määritelty$
$-\ kaikilla\ x:n\ arvoilla{,}\ kun\ n\ on\ pariton\ \left(3{,}\ 5{,}\ ...\right)$
$-\ ehdolla\ g\left(x\right)\ge0{,}\ kun\ n\ on\ parillinen\ \left(2{,}\ 4{,}\ ...\right)$

Kotitehtävät: 724a, c , 725 ja 726a

Juuriyhtälöt

Juuriyhtälöissä ratkaistava muuttuja on aina juurrettavassa

esimerkiksi

$\sqrt[3]{x+1}=2x\ \ \ tai\ \sqrt{x^2+5}=x+1$

Ratkaise yhtälö
$a.\ \ \sqrt{x^2+5}=x+1$

Tässä voidaan käyttää apuna neliöjuuren määritelmää

$\sqrt{a}=b\ \ \Leftrightarrow\ \ b^2=a\ \ ja\ b\ge0$

Nyt on huomioitava myös, että juurrettava ≥0

$nyt\ x^2+5>0\ kaikilla\ x:n\ arvoilla$

$\sqrt{x^2+5}=x-1\ \ \mid\ \left(\right)^2\ eli\ suoritetaan\ neliöönkorotus\ ehdolla\ x\ -\ 1\ge0$
$x^2+5=\left(x-1\right)^2$
$x^2+5=x^2-2x+1$
$2x=-4\ \$
$x=-2\$
$ei\ toteuta{,}\ sillä\ x-1=-3<0\ \left(eli\ \sqrt{9}=-3\right)$

Yhtälöllä ei ole ratkaisua

$b.\ \ x+\sqrt{x}-2=0$

määrittelyehtona: x ≥0

$\sqrt{x}=2-x\ \ \mid\ \left(\right)^2\ \ ehtona\ 2-x\ge0$

$x=4-4x+x^2\ \ \Leftrightarrow x^2-5x+4=0$

ratkaisukaavalla ratkaisut ovat x = 4 ja x = 1

Toteuttavatko molemmat?

x = 1 toteuttaa $\left(\sqrt{1}=2-1\ \ \Leftrightarrow1=1\right)$

x=4 ei toteuta sillä 2-4 = -2 <0
$\left(\sqrt{4}=-2\ eli\ epätosi\right)$