2. Ensimmäisen asteen polynomifunktiot

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Kuvaaja ja nollakohdat

- on yleisesti muotoa f(x) = ax + b, jossa a ja b ovat vakioita

jos esim a = 2 ja b = 1 niin f(x) = 2x +1

- kuvaaja on suora y = ax + b (usein suoran yhtälö ajatellaan: y = kx + b (a = k))

jossa a (=k) on suoran kulmakerroin

$kulma\ker roin\ k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y-koord\ muutos}{x-koord\ muutos}$

jos k > 0 niin suora on nouseva ja jos k < 0 niin suora on laskeva

(jos k = 0 niin suora on x-akselin suuntainen)

vakiotermi b kertoo missä kohdassa suora leikkaa y-akselin

Esim. piirrä suorat (xy-koordinaatistoon)

$y=2x+1\ \ ja\ \ y=-\frac{2}{3}x-2\ \ \left(eli\ funktioiden\ f\left(x\right)=2x+1\ ja\ g\left(x\right)=-\frac{2}{3}x-2\ kuvaajat\right)$

Funktion f(x) nollakohta on kohta, jossa kuvaaja leikkaa x-akselin. Se on yhtälön f(x) = 0 ratkaisu.

Funktio saa positiivisia arvoja eli f(x) > 0 niillä muuttujan x arvoilla, joilla funktion kuvaaja on x-akselin yläpuolella.
Vastaavasti funktio saa negatiivisia arvoja eli f(x) < 0, kun funktion kuvaaja on x-akselin alapuolella.

Ensimmäisen asteen epäyhtälö

Eroaa yhtälöistä siten että = -merkin tilalla on jokin epäyhtälömerkeistä >, <, ≥, ≤

ja epäyhtälön ratkaisujoukkona on aina jokin lukusuora osa esim x < 2

- Yksinkertaiset epäyhtälöt

ovat esimerkiksi muotoa 2x + 5 < 0 tai -x+2 > 0

esim ratkaise epäyhtälö 2x + 5 < 0

Etsitään funktion f(x) = 2x + 5 nollakohta

2x + 5 = 0

2x = -5 ‖ :2

$x=-\frac{5}{2}=-2\ \frac{1}{2}$

Funktion kuvaaja on suora, joka on nouseva (ja nollakohta on -2.5)

Laaditaan merkkikaavio eli hahmotellaan kuvaaja ja merkitään nollakohta

Merkkikaaviosta nähdään että

$2x+5<0{,}\ kun\ x\ <-\frac{5}{2}$

Huom!

Kaikki nousevat suorat (kulmakerroin > 0) saavat nollakohtaa pienemmillä arvoilla negatiivisia arvoja ja nollakohtaa suuremmilla arvoilla positiivisia arvoja

Vastaavasti kaikki laskevat suorat (kulmakerroni < 0) saavat nollakohtaa pienemillä arvoilla positiivisia arvoja ja nollakohtaa suuremmilla arvoilla negatiivisia arvoja.

- Monimutkaisemmat epäyhtälöt

Käytetään samoja ratkaisumenetelmiä kuin vastaavissa yhtälöissä (nimittäjien poistaminen, termien siirtäminen epäyhtälön puolelta toiselle sekä termien yhdistäminen), MUTTA:

Jos epäyhtälö jaetaan (tai kerrotaan) negatiivisella luvulla niin epäyhtälömerkin suunta kääntyy

Ratkaise epäyhtälö
a)

$5-\frac{x-2}{3}\le\frac{x}{2}+\frac{5}{6}\ \ \parallel\cdot6$

$30-2\left(x-2\right)\le3x+5$
$30-2x+4\le3x+5$
$-2x-3x\le5-34$
$-5x\le-29\ \ \parallel:\left(-5\right)\ \left(epäyhtälömerkin\ suunta\ kääntyy\right)$
$x\ge\frac{29}{5}\left(=5\ \frac{4}{5}\right)$

Jos x-termit siirtää epäyhtälön oikealle puolelle niin saadaan

$29\le5x\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{29}{5}\le x\ \ eli\ x\ge\frac{29}{5}$

$\frac{x}{3}-\frac{x-2}{12}>\frac{x}{2}+\frac{x+6}{4}\ \ \parallel\cdot12$

$4x-\left(x-2\right)>6x+3\left(x+6\right)$
$4x-x+2>6x+3x+18$
$-6x>16\ \ \ \ \ \left(-16>6x\right)$
$x<-\frac{16}{6}=-\frac{8}{3}$