Juuriyhtälöt

Juuriyhtälöissä ratkaistava muuttuja on aina juurrettavassa

esimerkiksi

$\sqrt[3]{x+1}=2x\ \ \ tai\ \sqrt{x^2+5}=x+1$

Ratkaise yhtälö
$a.\ \ \sqrt{x^2+5}=x+1$

Tässä voidaan käyttää apuna neliöjuuren määritelmää

$\sqrt{a}=b\ \ \Leftrightarrow\ \ b^2=a\ \ ja\ b\ge0$

Nyt on huomioitava myös, että juurrettava ≥0

$nyt\ x^2+5>0\ kaikilla\ x:n\ arvoilla$

$\sqrt{x^2+5}=x-1\ \ \mid\ \left(\right)^2\ eli\ suoritetaan\ neliöönkorotus\ ehdolla\ x\ -\ 1\ge0$
$x^2+5=\left(x-1\right)^2$
$x^2+5=x^2-2x+1$
$2x=-4\ \$
$x=-2\$
$ei\ toteuta{,}\ sillä\ x-1=-3<0\ \left(eli\ \sqrt{9}=-3\right)$

Yhtälöllä ei ole ratkaisua

$b.\ \ x+\sqrt{x}-2=0$

määrittelyehtona: x ≥0

$\sqrt{x}=2-x\ \ \mid\ \left(\right)^2\ \ ehtona\ 2-x\ge0$

$x=4-4x+x^2\ \ \Leftrightarrow x^2-5x+4=0$

ratkaisukaavalla ratkaisut ovat x = 4 ja x = 1

Toteuttavatko molemmat?

x = 1 toteuttaa $\left(\sqrt{1}=2-1\ \ \Leftrightarrow1=1\right)$

x=4 ei toteuta sillä 2-4 = -2 <0
$\left(\sqrt{4}=-2\ eli\ epätosi\right)$