6. Murtofunktiot

Murtolauseke

Murtolauseke (rationaalilauseke)

Murtolausekeessa on osoittaja ja nimittäjä, ja erityisesti nimittäjässä on muuttujatermi

esim

$\frac{1}{x}{,}\ \ \frac{x-2}{x+1}{,}\ \frac{x^2+1}{2x}$

1. Murtolausekkeiden yhteen- ja vähennyslasku

- Nimittäjät on ensin lavennettava samannimisiksi, jonka jälkeen osoittajan lasketaan yhteen (sama ajatus kuin murtolukujen tapauksessa)

esim. Sievennä

$a.\ \ \frac{x-1}{x}-\frac{x-3}{3x}=\frac{3\left(x-1\right)}{3x}-\frac{x-3}{3x}=\frac{3x-3-\left(x-3\right)}{3x}$

$=\frac{2x}{3x}\ \left(x\ on\ yhteinen\ tekijä\ osoittajassa\ ja\ nimittäjässä\right)$

eli se voidaan supistaa pois

$=\frac{2}{3}$

$b.\ \ \frac{1}{x-1}+\frac{x+2}{x}$

eka lauseke lavennetaan x:llä ja toinen x - 1

$=\frac{x}{x\left(x-1\right)}+\frac{\left(x+2\right)\left(x-1\right)}{x\left(x-1\right)}=\frac{x+x^2-x+2x-2}{x\left(x-1\right)}=\frac{x^2+2x-2}{x\left(x-1\right)}=\frac{x^2+2x-2}{x^2-x}$
$Huom!$
$Murtolauseke\ \frac{x^2+2x-2}{x\left(x-1\right)}\ \sup istuu{,}\ jos\ osoittajan\ tekijänä\ on\ x\ tai\ x-1$

Nyt osoittajasta ei saadaa tekijää x eikä x - 1 (osoittajan nollakohta pitäisi olla x=1), joten murtolauseke ei sievene (ei voida supistaa)

$c.\ \ \frac{x^2-x-2}{x^2-1}$

Jaetaan nimittäjä ja osoittaja tekijöihin (2. asteen lausekkeet)

Nimittäjä on helpompi jakaa, koska siinä on summan ja erotuksen tulo

$\frac{x^2-x-2}{x^2-1}=\frac{ }{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$

Voiko osoittajan tekijä olla x - 1 tai x + 1 eli onko osoittajan x=1 tai x =-1?

Nyt huomataan, että x = 1 ei ole (1^2-1-2=-2≠0) mutta x = -1 on

((-1)^2 - (-1) -2 = 0) eli on tekijä x +1

Toinen tekijä voidaan päätellä polynomin kertolaskun avulla

$=\frac{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\frac{x-2}{x-1}$

Kotitehtävät: 609, 610 ja 613

Kotitehtävät (10.12.): 615, 619, 644

Murtofunktion nollakohdat ja murtoyhtälö

MURTOFUNKTIOT

- ovat muotoa

$f\left(x\right)=\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}{,}\ jossa\ p\ ja\ q\ ovat\ polynomeja$

f on määritelty, kun q(x) ≠ 0

f:n nollakohdat ovat osoittajan, p(x) nollakohdat

$eli\ \frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}=0{,}\ kun\ p\left(x\right)=0\ ehdolla\ q\left(x\right)\ne0$

esimerkiksi funktio

$f\left(x\right)=\frac{x^2-x-2}{x^2-1}$

nyt määrittelyehtona on

$x^2-1\ne0$

Helpompi on todeta nimittäjän nollakohdat

$x^2-1=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2=1\ \ \Leftrightarrow\ x=\pm1$

$\Rightarrow f\ on\ määritelty{,}\ kun\ x\ne\pm1$

Tämä tarkoittaa sitä, että funktion lausekkeeseen voidaan sijoittaa kaikkia muita x:n arvoja paitsi x:n arvoja 1 ja -1 (f(1) ja f(-1) ei ole määritelty)

$funktion\ nollakohdat:\ f\left(x\right)=0{,}\ kun\ x^2-x-2=0$

$ax^2+bx+c=0\ \ \Leftrightarrow\ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$ratkaisukaavalla:\ x=\frac{1\pm\sqrt{\left(-1\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-2\right)}}{2\cdot1}=\frac{1\pm3}{2}$
$\Leftrightarrow\ x=2\ tai\ x=-1$
$Koska\ määrittelyehtona\ on\ x\ \ne\pm1\ niin\ nollakohdaksi\ hyväksytään\ vain\ x=2$

Ratkaise yhtälö (murtoyhtälö)

$\frac{x+2}{x}=x+1\ \ {,}\ x\ \ne0$
Yhtälö on murtoyhtälö, koska siinä yhtälön vasemmalla puolelle on murtolauseke.

Tapa 1:

lavennetaan samannimisiksi ja siirretään termit samalle puolelle yhtälöä

$\frac{x+2}{x}=\frac{x\left(x+1\right)}{x}\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{x+2}{x}-\frac{x^2+x}{x}=0$

$\frac{2-x^2}{x}=0\ \ {,}kun\ 2-x^2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2=2\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\pm\sqrt{2}$

Tapa 2:

$\frac{x+2}{x}=x+1\ \ \ \mid\cdot x{,}\ kun\ ehtona\ x\ne0$

$\frac{x\left(x+2\right)}{x}=x\left(x+1\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ x+2=x^2+x\ \ \Leftrightarrow\ \ 2=x^2\ \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\pm\sqrt{2}$

Ratkaise yhtälö

$\frac{6}{x-1}-x=4$

Yhtälö on määritelty, kun x ≠ 1 (x - 1 ≠ 0)

$\frac{6}{x-1}=x+4\ \ \ \mid\cdot\left(x-1\right)$

$6=\left(x+4\right)\left(x-1\right)\ \ \Leftrightarrow\ 6=x^2-x+4x-4$
$\Leftrightarrow\ 0\ =\ x^2+3x-10$
$x=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot1\cdot\left(-10\right)}}{2}=\frac{-3\pm7}{2}$
$x=2\ tai\ x=-5$

Kotitehtävät: 615, 619, 644