3. Toisen asteen polynomifunktiot

Toisen asteen polynomifunktio

[[$on\ muotoa\ f\left(x\right)=ax^2+bx+c\ \ {,}\ jossa$]]
- [[$ax^2\ on\ 2.\ asteen\ termi{,}\ bx\ on\ 1.\ asteen\ termi\ ja\ c\ on\ vakiotermi$]]
- vakiot a, b ja c ovat reaalilukuja, a ≠ 0
kuvaaja on nimeltään paraabeli
- paraabeli aukeaa ylöspäin, jos 2. asteen termin kerroin a > 0 ja
- alaspäin, jos a < 0
[[$2.asteen\ funktion\ nollakohtia\ eli\ yhtälön\ ax^2+bx+c=0\ ratkaisuja\ voi\ olla\ 2{,}\ 1\ tai\ 0\ \left(ei\ yhtään\right)$]]

Piirrä paraabeli koordinaatistoon
a)
[[$y=x^2-4$]]
b)
[[$y=-x^2-x+2$]]

Kotitehtävät: 236, 305, 307 ja 309

Palauta vastaus

Sinulla ei ole tarvittavia oikeuksia lähettää mitään.

Tulon nollasääntö ja vaillinaiset 2. asteen yhtälöt

[[$Toisen\ asteen\ yhtälöä{,}\ ax^2+bx+c=0\ sanotaan\ vaillinaiseksi{,}\ jos\ b=0\ tai\ c=0$]]

[[$Tapaus\ 1:\ b=0\ eli\ yhtälö\ on\ muotoa\ ax^2+c=0$]]

ratkaiseminen (kuten aiemmin on opittu)
- [[$ax^2=-c\ \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2=-\frac{c}{a}\ \ \ \Leftrightarrow\ x=\pm\sqrt{-\frac{c}{a}}\ $]]

[[$Tapaus\ 2:\ c=0\ eli\ yhtälö\ on\ muotoa\ ax^2+bx=0$]]

ratkaiseminen:
- otetaan yhteinen tekijä x, jolloin toiseksi tekijäksi jää ax + b eli yhtälö kirjoitetaan tulomuotoon
- [[$x\left(ax+b\right)=0$]]
- Nyt käytetään tulon nollasääntöä eli tulo on nolla, jos jompi kumpi tekijäistä on nolla:
- [[$x=0\ tai\ ax+b=0{,}\ josta\ x=-\frac{b}{a}$]]

[[$Tapaus\ 3:\ b=c=0\ eli\ yhtälö\ on\ muotoa\ ax^2=0$]]

ratkaisu on selkeä eli x = 0

Kotitehtävät: 326, 327 ja 329

Kotitehtävät: 332, 330 ja 326

Palauta vastaus

Sinulla ei ole tarvittavia oikeuksia lähettää mitään.

Täydellinen toisen asteen yhtälö

TOISEN ASTEEN YHTÄLÖT

Täydelliset 2. asteen yhtälöt ovat muotoa

$ax^2+bx\ +c=0$

Tätä yhtälöä sanotaan vaillinaiseksi, jos c = 0 tai b = 0 (tai b = c = 0)

Vaillinaiset 2. asteen yhtälöt

1. Kun c = 0

$Yhtälö\ on\ muotoa\ ax^2+bx=0$

ratkaistaan ottamalla yhteinen tekijä x eli jakamalla tekijöihin ja käyttämällä tulon nollasääntöä

$x\left(ax+b\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=0\ \ tai\ \ ax+b=0{,}\ josta\ x\ =-\frac{b}{a}$

2. Kun b = 0

$Yhtälö\ on\ muotoa\ ax^2+c=0$

$ratkaistaan\ aluksi\ x^2\ -suhteen:\ x^2=-\frac{c}{a}\ \ ja$
$otetaan\ neliöjuuri:\ x=\pm\sqrt{-\frac{c}{a}}{,}\ jos\ -\frac{c}{a}>0$

Huom! Vaillinaisia yhtälöitä ovat myös yhtälöt, jotka ovat esim muotoa

$\left(x-3\right)^2=4\ \ \ \Leftrightarrow\ \ x-3=\pm2\ \ \ \Leftrightarrow\ \ x=3\pm2\ \ \Leftrightarrow\ \ x=5\ \ tai\ \ x=1$

Täydelliset 2. asteen yhtälöt

$ax^2+bx+c=0$

ratkaistaan joko ratkaisukaavalla

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

tai neliöksi täydentämällä (palataan myöhemmin)

Ratkaise yhtälö

$a.\ \ \ \ x^2-6x+5=0$

Käytetään ratkaisukaavaa

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

nyt a = 1, b = -6 ja c =5

$x=\frac{6\pm\sqrt{\left(-6\right)^2-4\cdot1\cdot5}}{2\cdot1}=\frac{6\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{6\pm4}{2}$

$x=\frac{6+4}{2}=5\ \ tai\ \ x=\frac{6-4}{2}=1$

Huom! 2. asteen yhtälöitä voidaan tarvittaessa jakaa tai kertoa aluksi jollain luvulla

esim.

$100x^2-20x-60=0\ \ \parallel:20$

$5x^2-x-3=0$

tai jos yhtälössä on murtolukuja esim

$-\frac{2}{3}x^2+\frac{1}{6}x+1=0\ \parallel\cdot6$

$-4x^2+x+6=0$

(a=-4, b=1 ja c=6)

$x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot\left(-4\right)\cdot6}}{2\cdot\left(-4\right)}=\frac{-1\pm\sqrt{97}}{\left(-8\right)}$
$x=\frac{-1+\sqrt{97}}{-8}\approx-1{,}1\ \ \ tai\ x=\frac{-1-\sqrt{97}}{-8}\approx1{,}4$

Kotitehtävät: 344 ja 345

Ratkaise yhtälö

$x^2-2x-3=0$

$\left(x+1\right)^2=4x+3$

Kotitehtävät: 351, 353 ja 354

Toisen asteen epäyhtälö

Toisen asteen epäyhtälön ratkaiseminen

1. Muokataan epäyhtälö perusmuotoon

$ax^2+bx+c>0\ \left(tai\ <0{,}\ \le0{,}\ge0\right)$

2. Ratkaistaan vastaava yhtälö

$ax^2+bx+c=0$

eli määritetään paraabelin

$y=ax^2+bx+c$

nollakohdat

3. Laaditaan merkkikaavio paraabelin nollakohtien ja paraabelin aukeamissuunnan avulla (paraabelin kuvaajan hahmottaminen)

- HUOM! Paraabeli aukeaa ylöspäin, jos a > 0 ja alaspäin, jos a < 0

4. Päätellään epäyhtälön ratkaisujoukko merkkikaavion avulla

Ratkaise epäyhtälö

$x\left(x-1\right)\le2$

Muokataan perusmuotoon

$x^2-x-2\le0$

(millä x:n arvoilla paraabeli y = x^2 - x - 2 saa negatiivisia arvoja tai arvon nolla (ei saa positiivisia arvoja))

Ratkaistaan vastaava yhtälö

$x^2-x-2=0\ \ \left(määritetään\ paraabelin\ nollakohdat\right)$

$x=\frac{1\pm\sqrt{\left(-1\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-2\right)}}{2\cdot1}=\frac{1\pm3}{2}$
$x=2\ tai\ x=-1\ \left(kohdat{,}\ joissa\ paraabeli\ leikkaa\ x-akselin\right)$

Nyt paraabeli aukeaa ylöspäin, koska x^2-termin kerroin a = 1 >0

Paraabeli saa negatiivisia arvoja nollakohtien välissä

eli

$x^2-x-2\le0{,}\ kun\ -1\le x\le2$

Huom! voidaan laatia myös merkkikaavio

$\begin{array}{l|l} +&-1\ \ \ \ -\ \ \ \ &2\ \ \ + \end{array}$

josta voidaan todeta ratkaisujoukko

Huom!

Merkkikaaviosta nähdään, että

$x^2-x-2>0{,}\ kun\ x<-1{,}\ x>2$

Kotitehtävät: 363, 354 ja 356

Diskriminantti

2. asteen yhtälön ratkaisukaavan neliöjuuren alla oleva lauseke on nimeltään diskriminantti, D.

eli

$D=b^2-4ac$

$ax^2+bx+c=0$
$ratkaisukaava\ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$yhtälön\ ax^2+bx+c=0\ ratkaisujen\ lukumäärä\ voidaan\ päätellä\ D:n\ avulla$

- jos D > 0 ⇒ yhtälöllä on kaksi eri suurta ratkaisua (juurta) (paraabelilla kaksi nollakohtaa)

- jos D = 0 ⇒ yhtälöllä on vain yksi ratkaisu (kaksoisjuuri) (paraabeli sivuaa x-akselia)

- jos D < 0 ⇒ yhtälöllä ei ole ratkaisuja (paraabeli on x-akselin ylä- tai alapuolella)

Onko yhtälöllä

$-2x^2-4x-6=0\ ratkaisuja?$

Nyt diskriminantti

$D=\left(-4\right)^2-4\cdot\left(-2\right)\cdot\left(-6\right)=-32<0\ \Rightarrow\ yhtälöllä\ ei\ ole\ ratkaisuja$

$x^2+6x+9=0$
$D=6^2-4\cdot1\cdot9=0\ \ \Rightarrow\ 2.\ asteen\ yhtälöllä\ on\ vain\ yksi\ ratkaisu$
$Nyt\ 2.\ asteen\ lausekeesta\ voidaan\ muodostaa\ bino\min\ neliö$
$eli\ x^2+6x+9=\left(x+3\right)^2=0\ \ \Leftrightarrow x+3=0\ \ \Leftrightarrow x=-3$
$Huom!\ \left(x+3\right)^2=\left(x+3\right)\left(x+3\right)=0\$

tulon nollasäännön mukaan saadaan ratkaisu x = -3 kaksi kertaa ⇒ tulee nimitys kaksoisjuuri

Kotitehtävät: 374, 382 ja 383

Millä vakion t arvoilla yhtälöllä

$2x^2-tx+2=0\ on\ vain\ yksi\ ratkaisu?$