Murtofunktion nollakohdat ja murtoyhtälö

MURTOFUNKTIOT

- ovat muotoa

$f\left(x\right)=\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}{,}\ jossa\ p\ ja\ q\ ovat\ polynomeja$

f on määritelty, kun q(x) ≠ 0

f:n nollakohdat ovat osoittajan, p(x) nollakohdat

$eli\ \frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}=0{,}\ kun\ p\left(x\right)=0\ ehdolla\ q\left(x\right)\ne0$

esimerkiksi funktio

$f\left(x\right)=\frac{x^2-x-2}{x^2-1}$

nyt määrittelyehtona on

$x^2-1\ne0$

Helpompi on todeta nimittäjän nollakohdat

$x^2-1=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2=1\ \ \Leftrightarrow\ x=\pm1$

$\Rightarrow f\ on\ määritelty{,}\ kun\ x\ne\pm1$

Tämä tarkoittaa sitä, että funktion lausekkeeseen voidaan sijoittaa kaikkia muita x:n arvoja paitsi x:n arvoja 1 ja -1 (f(1) ja f(-1) ei ole määritelty)

$funktion\ nollakohdat:\ f\left(x\right)=0{,}\ kun\ x^2-x-2=0$

$ax^2+bx+c=0\ \ \Leftrightarrow\ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$ratkaisukaavalla:\ x=\frac{1\pm\sqrt{\left(-1\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-2\right)}}{2\cdot1}=\frac{1\pm3}{2}$
$\Leftrightarrow\ x=2\ tai\ x=-1$
$Koska\ määrittelyehtona\ on\ x\ \ne\pm1\ niin\ nollakohdaksi\ hyväksytään\ vain\ x=2$

Ratkaise yhtälö (murtoyhtälö)

$\frac{x+2}{x}=x+1\ \ {,}\ x\ \ne0$
Yhtälö on murtoyhtälö, koska siinä yhtälön vasemmalla puolelle on murtolauseke.

Tapa 1:

lavennetaan samannimisiksi ja siirretään termit samalle puolelle yhtälöä

$\frac{x+2}{x}=\frac{x\left(x+1\right)}{x}\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{x+2}{x}-\frac{x^2+x}{x}=0$

$\frac{2-x^2}{x}=0\ \ {,}kun\ 2-x^2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2=2\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\pm\sqrt{2}$

Tapa 2:

$\frac{x+2}{x}=x+1\ \ \ \mid\cdot x{,}\ kun\ ehtona\ x\ne0$

$\frac{x\left(x+2\right)}{x}=x\left(x+1\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ x+2=x^2+x\ \ \Leftrightarrow\ \ 2=x^2\ \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\pm\sqrt{2}$

Ratkaise yhtälö

$\frac{6}{x-1}-x=4$

Yhtälö on määritelty, kun x ≠ 1 (x - 1 ≠ 0)

$\frac{6}{x-1}=x+4\ \ \ \mid\cdot\left(x-1\right)$

$6=\left(x+4\right)\left(x-1\right)\ \ \Leftrightarrow\ 6=x^2-x+4x-4$
$\Leftrightarrow\ 0\ =\ x^2+3x-10$
$x=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot1\cdot\left(-10\right)}}{2}=\frac{-3\pm7}{2}$
$x=2\ tai\ x=-5$

Kotitehtävät: 615, 619, 644