Murtolauseke

Murtolauseke (rationaalilauseke)

Murtolausekeessa on osoittaja ja nimittäjä, ja erityisesti nimittäjässä on muuttujatermi

esim

$\frac{1}{x}{,}\ \ \frac{x-2}{x+1}{,}\ \frac{x^2+1}{2x}$

1. Murtolausekkeiden yhteen- ja vähennyslasku

- Nimittäjät on ensin lavennettava samannimisiksi, jonka jälkeen osoittajan lasketaan yhteen (sama ajatus kuin murtolukujen tapauksessa)

esim. Sievennä

$a.\ \ \frac{x-1}{x}-\frac{x-3}{3x}=\frac{3\left(x-1\right)}{3x}-\frac{x-3}{3x}=\frac{3x-3-\left(x-3\right)}{3x}$

$=\frac{2x}{3x}\ \left(x\ on\ yhteinen\ tekijä\ osoittajassa\ ja\ nimittäjässä\right)$

eli se voidaan supistaa pois

$=\frac{2}{3}$

$b.\ \ \frac{1}{x-1}+\frac{x+2}{x}$

eka lauseke lavennetaan x:llä ja toinen x - 1

$=\frac{x}{x\left(x-1\right)}+\frac{\left(x+2\right)\left(x-1\right)}{x\left(x-1\right)}=\frac{x+x^2-x+2x-2}{x\left(x-1\right)}=\frac{x^2+2x-2}{x\left(x-1\right)}=\frac{x^2+2x-2}{x^2-x}$
$Huom!$
$Murtolauseke\ \frac{x^2+2x-2}{x\left(x-1\right)}\ \sup istuu{,}\ jos\ osoittajan\ tekijänä\ on\ x\ tai\ x-1$

Nyt osoittajasta ei saadaa tekijää x eikä x - 1 (osoittajan nollakohta pitäisi olla x=1), joten murtolauseke ei sievene (ei voida supistaa)

$c.\ \ \frac{x^2-x-2}{x^2-1}$

Jaetaan nimittäjä ja osoittaja tekijöihin (2. asteen lausekkeet)

Nimittäjä on helpompi jakaa, koska siinä on summan ja erotuksen tulo

$\frac{x^2-x-2}{x^2-1}=\frac{ }{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$

Voiko osoittajan tekijä olla x - 1 tai x + 1 eli onko osoittajan x=1 tai x =-1?

Nyt huomataan, että x = 1 ei ole (1^2-1-2=-2≠0) mutta x = -1 on

((-1)^2 - (-1) -2 = 0) eli on tekijä x +1

Toinen tekijä voidaan päätellä polynomin kertolaskun avulla

$=\frac{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\frac{x-2}{x-1}$

Kotitehtävät: 609, 610 ja 613

Kotitehtävät (10.12.): 615, 619, 644