4.1 Potenssi

Tutki & Kokeile teknologian avulla

Laske seuraavat tietokoneella (tai laskimella).
Mitä saat selville merkinnästä [[$x^p$]] ja sen ominaisuuksista?

Tehtävä 1.
a) [[$a\cdot a$]]
b) [[$a\cdot a\cdot a$]]
c) [[$a\cdot a\cdot a\cdot a$]]
d) [[$2\cdot 2$]]
e) [[$2\cdot 2\cdot 2$]]
f) [[$2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$]]
g) [[$(-2)\cdot (-2)$]]
h) [[$(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)$]]
i) [[$(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)\cdot (-2)$]]

Tehtävä 2.
a) [[$a^{10}\cdot a^3$]]
b) [[$\dfrac{a^{10}}{a^3}$]]
c) [[$(a^3)^{10}$]]
d) [[$a^{3^{10}}$]]
e) [[$(a\cdot b)^2$]]
f) [[$\left(\dfrac{a}{b}\right)^3$]]

Määritelmä

Jos [[$a$]] on reaaliluku ja [[$n$]] on positiivinen kokonaisluku, potenssilla [[$a^n$]] tarkoitetaan tuloa, jossa luku [[$a$]] kerrotaan itsellään [[$n$]]-kertaa.


Potenssi [[$$a^n=\underbrace{a\cdot a \cdot \dots \cdot a}_{\text{n kappaletta}}$$]]

Lukua [[$a$]] kutsutaan potenssin kantaluvuksi ja lukua [[$n$]] eksponentiksi.



Esimerkiksi merkinnällä [[$2^3$]] tarkoitetaan tuloa [[$2\cdot 2\cdot 2$]]. Siten [[$2^3=2\cdot 2\cdot 2=8$]]. Potensseja sanotaan samankantaisiksi, jos niillä on sama kantaluku. Luvun toista potenssia [[$a^2$]] kutsutaan myös luvun [[$a$]] neliöksi ja kolmatta potenssia [[$a^3$]] sen kuutioksi.

Potenssiin korotus suoritetaan ennen kerto- tai jakolaskua. Jos potensseja on useita päällekkäin (esim. [[$2^{2^4}$]]), laskeminen aloitetaan ylimmästä potenssista. Sulkuja käyttämällä laskujärjestys voidaan muuttaa.

Potenssien laskusäännöt

Potensseille pätevät seuraavat laskusäännöt:


Potenssien laskusääntöjä

Samankantaisten potenssien tulo [[$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$]]
Samankantaisten potenssien osamäärä [[$$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \qquad a\ne 0$$]]
Tulon potenssi [[$$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$$]]
Osamäärän potenssi [[$$ \left( \dfrac{a}{b} \right) ^n=\dfrac{a^n}{b^n}, \qquad b\ne 0$$]]
Potenssin potenssi [[$$\qquad \qquad (a^m)^n=a^{m\cdot n}$$]]


Pohditaan esimerkkien avulla hieman mistä edelliset laskusäännöt muodostuvat. Mikäli laskusäännöt halutaan todistaa, täytyy esimerkkien sijasta käyttää kirjaimia myös eksponentteina.

Samankantaisten potenssien tulo
[[$$ a^9 \cdot a^3=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}_{\text{9 kpl}} \cdot\underbrace{a\cdot a\cdot a}_{\text{3 kpl}}=a^{9+3}=a^{12}$$]]
Samankantaisten potenssien osamäärä
[[$$ \frac{a^9}{a^3}=\frac{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a} {a\cdot a\cdot a}=a^{9-3}=a^6$$]]
Tulon potenssi
[[$$(ab)^4=ab\cdot ab\cdot ab\cdot ab=a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot b\cdot b\cdot b\cdot b=a^{4} b^{4}$$]]
Osamäärän potenssi
[[$$ \left(\frac{a}{b}\right)^4=\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}=\frac{a \cdot a\cdot a\cdot a}{b \cdot b\cdot b\cdot b}=\frac{a^{4}}{b^{4}}$$]]
Potenssin potenssi
[[$$(a^2)^4=\underbrace{a^2\cdot a^2\cdot a^2\cdot a^2}_{4\text{ kpl}}=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}_{2\cdot 4=8\text{ kpl}}=a^8$$]]

Nolla eksponenttina

Esimerkiksi [[$\dfrac{2}{2}=1$]], [[$\dfrac{2\cdot 2\cdot 2}{2\cdot 2\cdot 2}=1$]] ja [[$\dfrac{2^n}{2^n}=1$]]. Vastaavasti pätee [[$\dfrac{a^3}{a^3}=\dfrac{a\cdot a\cdot a}{a\cdot a\cdot a}=1$]], kun [[$a\neq 0$]]. Edelliset laskut voidaan laskea myös hyödyntäen samankantaisten potenssien osamäärän laskusääntöä, jolloin ajaudutaan tilanteeseen [[$a^0$]]. Esimerkiksi [[$\dfrac{a^3}{a^3}=a^{3-3}=a^0$]]. Onkin määritelty:

Nolla eksponenttina
[[$$a^0=1, \qquad a\ne 0$$]]

Lukua [[$0^0$]] ei ole määritelty.

Negatiivinen luku eksponenttina

Mikäli osamäärä [[$\dfrac{a^2}{a^7}$]] sievennetään supistamalla yhteiset tekijät pois, saadaan tulokseksi
[[$$\dfrac{a^2}{a^7} = \dfrac{{a}\cdot {a}}{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot {a}\cdot {a}} = \dfrac{1}{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}=\frac{1}{a^5}.$$]]

Jos sievennykseen hyödynnetään samankantaisten potenssien osamäärän laskusääntöä, saadaan sama lauseke muotoon
[[$$\dfrac{a^2}{a^7} = a^{2-7}= a^{-5}{.}$$]]
Edellisten perusteella [[$a^{-5} = \dfrac{1}{a^5}$]]. Negatiivinen eksponentti onkin määritelty:



Negatiivinen eksponentti
[[$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}=\left( \frac{1}{a} \right) ^n $$]]

Luvun [[$a$]] negatiivinen potenssi on yhtä suuri kuin luvun [[$a$]] käänteisluvun positiivinen potenssi.

huomaa: Koska murtoluvun [[$\frac{a}{b}$]] käänteisluku on [[$\frac{b}{a}$]], niin [[$$ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} =\left( \frac{b}{a} \right) ^n $$]]

Esimerkki 2.

Sievennä potenssien laskusääntöjä käyttämällä [[$(x\neq0, y\neq0)$]]:
a) [[$x^3\cdot x^9$]] [[$\quad$]] b) [[$\dfrac{x^8}{x^3}$]] [[$\quad$]] c) [[$\left(y^3\right)^5$]] [[$\quad$]] d) [[$(x\cdot y^2)^3$]] [[$\quad$]] e) [[$\left(\dfrac{y^3}{x}\right)^4$]]

Ratkaisu:
a) [[$x^3\cdot x^9$]] Samankantaisten potenssien tulo

[[$=x^{3+9}=x^{12}$]]


b) [[$\dfrac{x^8}{x^3}$]] Samankantaisten potenssien osamäärä

[[$=x^{8-3}=x^5$]]

c) [[$\left(y^3\right)^5$]] Potenssin potenssi

[[$=y^{3\cdot 5}=y^{15}$]]

d) [[$(x\cdot y^2)^3$]] Tulon potenssi

[[$=x^3\cdot (y^2)^3$]] Potenssin potenssi

[[$=x^3\cdot y^{2\cdot 3}=x^3\cdot y^6$]]


e) [[$\left(\dfrac{y^3}{x}\right)^4$]] Osamäärän potenssi

[[$=\dfrac{\left(y^3\right)^4}{x^4}$]] Potenssin potenssi

[[$=\dfrac{y^{3\cdot 4}}{x^4}=\dfrac{y^{12}}{x^4}$]]