4.2 Kymmenpotenssiesitys ja mittayksiköt
Tutki & Kokeile teknologian avulla
Muunna metreiksi muunnostoimintoa käyttäen.
a) [[$1\,\text{mm}\qquad$]] b) [[$1\,\mu\text{m}\qquad$]] c) [[$1\,\text{km}\qquad$]] d) [[$1\,\text{cm}\qquad$]]
a) [[$1\,\text{mm}\qquad$]] b) [[$1\,\mu\text{m}\qquad$]] c) [[$1\,\text{km}\qquad$]] d) [[$1\,\text{cm}\qquad$]]
Kymmenjärjestelmä
Kymmenjärjestelmä eli desimaalijärjestelmä on meille tutuin lukujärjestelmä. Nimensä mukaisesti kymmenjärjestelmässä luvut ilmoitetaan kymmenen merkin eli numeron (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) avulla. Yhtä hyvin voisimme käyttää luokan oppilasmäärän ilmoittamiseen vaikkapa binäärijärjestelmää, jossa on käytössä vain merkit 0 ja 1. Tämä järjestelmä on tietokoneille luonnollinen, sillä sähkövirtana nämä kaksi vaihtoehtoa voidaan ilmoittaa esimerkiksi virta kulkee/virta ei kulje.
Kymmenjärjestelmässä numeron paikka luvun esitysmuodossa on merkityksellinen.
[[$\text{934,627} = \\ {9\cdot 10^{2}+3\cdot 10^{1} + 4\cdot 10^{0} + 6\cdot 10^{-1} + 2\cdot 10^{-2}+7\cdot 10^{-3}}$]]
Kymmenjärjestelmässä numeron paikka luvun esitysmuodossa on merkityksellinen.
- Desimaalipilkusta vasemmalle liikuttaessa paikka ilmoittaa ykköset, kymmenet, sadat, tuhannet, kymmenet tuhannet, sadat tuhannet, miljoonat jne.
- Desimaalipilkusta oikealle siirryttäessä paikka ilmaisee kymmenesosat, sadasosat, tuhannesosat, jne.
Kymmenpotenssimuoto
Erityisen suurten tai pienten lukujen hahmottaminen normaalista esitysmuodosta voi olla vaikeaa. Tämän vuoksi suurten ja pienten lukujen ilmoittamiseen käytetään kymmenpotenssimuotoa. Kymmenpotenssimuodossa luku esitetään tulona [[$a\cdot 10^n$]], missä [[$1<|a|<10$]] ja [[$n\in \mathbb{Z}$]]. Esimerkiksi [[$ \text{2,3} \cdot 10^6= 2\,300\,000 $]].
Etuliitteet ja mittayksiköiden muuntaminen
Kymmenpotenssimuodon lisäksi voidaan vaihtoehtoisesti käyttää mittayksiköiden etuliitteitä. Etuliite helpottaa lukujen kirjoittamista ja lausumista puheessa. On helpompaa lausua "viisi nanometriä" kuin "viisi kertaa kymmenen potenssiin miinus yhdeksän metriä".
Taulukon etuliitteitä vastaavat eksponentit kasvavat aina kolmella. Etuliitteitä käytettäessä suositellaan esitysmuotoa [[$a\cdot 10^n$]], missä [[$1<|a|<1000$]]. Tästä syystä arkielämästä tutut etuliitteet desi, sentti ja hehto puuttuvat listalta.
| Etuliite | Lyhenne | Kymmenen potenssi | Vastaava luku |
|---|---|---|---|
| piko | p | 10-12 | biljoonasosa |
| nano | n | 10-9 | miljardisosa |
| mikro | µ | 10-6 | miljoonasosa |
| milli | m | 10-3 | tuhannesosa |
| kilo | k | 103 | tuhat |
| mega | M | 106 | miljoona |
| giga | G | 109 | miljardi |
| tera | T | 1012 | biljoona |
Pinta-alan ja tilavuuden yksiköiden erityispiirteet
Pinta-alan ja tilavuuden yksiköt aiheuttavat valitettavan ristiriidan edellä esitettyyn etuliitejärjestelmään. Alakoulussa opimme, että pilkkua täytyy siirtää kahdella muunnettaessa pinta-alan yksiköitä ja kolmella muunnettaessa tilavuuden yksiköitä. Syy tähän on se, että etuliite on neliöön tai kuutioon korotuksen sisällä, vaikka sulkuja ei olekaan tapana käyttää. Esimerkiksi tilavuuden yksiköt muuttuvat tuhatkertaisiksi etuliitteen kasvaessa kymmenkertaiseksi.1 mm3 = 1 (mm)3 = 1⋅(10-3)3 m3 = 1⋅10-9 m3
1 cm3 = 1 (cm)3 = 1⋅(10-2)3 m3 = 1⋅10-6 m3
1 dm3 = 1 (dm)3 = 1⋅(10-1)3 m3 = 1⋅10-3 m3
1 m3
Yksikkömuunnokset Googlella:
Jos käytössäsi on internet-yhteys, niin monet yksikkömuunnokset onnistuvat kirjoittamalla haluttu muunnos Googlen hakukenttään: "1 mm^3 to m^3"Esimerkki 1
Muunna kymmenpotenssimuotoon a) 3 200 000 [[$\quad$]] b) 0,0064 [[$\quad$]] c) –45344444 [[$\quad$]] d) –0,02.
Ratkaisu:
a) 3 200 000 = 3,2 ⋅ 1 000 000 = 3,2 ⋅ 106
b) 0,0064 = 6,4 ⋅ 0,001 = 6,4 ⋅ 10-3
c) –45344444 = –4,5344444 ⋅ 107
d) –0,02 = –2 ⋅ 10-2
Ratkaisu:
a) 3 200 000 = 3,2 ⋅ 1 000 000 = 3,2 ⋅ 106
b) 0,0064 = 6,4 ⋅ 0,001 = 6,4 ⋅ 10-3
c) –45344444 = –4,5344444 ⋅ 107
d) –0,02 = –2 ⋅ 10-2
Esimerkki 2
Esitä hyödyntäen etuliitteitä [[$\quad$]] a) 6580000 [[$\quad$]] b) 0,053 m [[$\quad$]] c) 3,21 ⋅ 10-7 m.
Ratkaisu:
a) 6580000 g = 6,58 Mg
b) 0,053 m = 53 mm
c) 3,21 ⋅ 10-7 m = 321 nm
Etuliitteitä on suositeltavaa käyttää siten, että luvun kokonaisosa on 1–3 numeroa.
Ratkaisu:
a) 6580000 g = 6,58 Mg
b) 0,053 m = 53 mm
c) 3,21 ⋅ 10-7 m = 321 nm
Etuliitteitä on suositeltavaa käyttää siten, että luvun kokonaisosa on 1–3 numeroa.
Esimerkki 3. Mittayksiköiden muuntaminen
Muunna suluissa esitettyyn yksikköön.
a) 5 bar (Pa)
b) 2 000 m2 (eekkeri)
c) 10 karaattia (g)
Ratkaisu:
Poimitaan taulukosta muunnoskertoimet.
a) 1 bar = 105 Pa, joten 5 bar = 5 ∙ 105 Pa
b) 1 eekkeri = 4046,86 m2, joten 1 m2 = [[$ \frac{1}{\text{4046,86}}$]] eekkeriä = 0,000247 eekkeriä. Tällöin 2 000 m2 =2 000 ∙ 0,000247 eekkeriä = 0,49 eekkeriä.
c) 1 karaatti on 200 milligrammaa, joten 10 karaattia = 2000 mg = 2 g.
Harjoittele yksiköiden muuntamista myös laskimella tai tietokoneella. Erikoisimmat yksiköt voivat puuttua ohjelmasta.
a) kirjoita Googlen hakukenttään "5 bar to Pa"
b) kirjoita Googlen hakukenttään "2000 m2 to acre"
c) kirjoita Googlen hakukenttään "10 carat to g"
Etuliitteet onnistuvat myös, kuten esimerkiksi "1 µm to meter"
(mikron merkki "myy" tulee näppäinyhdistelmällä "altgr+m")
a) 5 bar (Pa)
b) 2 000 m2 (eekkeri)
c) 10 karaattia (g)
Ratkaisu:
Poimitaan taulukosta muunnoskertoimet.
a) 1 bar = 105 Pa, joten 5 bar = 5 ∙ 105 Pa
b) 1 eekkeri = 4046,86 m2, joten 1 m2 = [[$ \frac{1}{\text{4046,86}}$]] eekkeriä = 0,000247 eekkeriä. Tällöin 2 000 m2 =2 000 ∙ 0,000247 eekkeriä = 0,49 eekkeriä.
c) 1 karaatti on 200 milligrammaa, joten 10 karaattia = 2000 mg = 2 g.
Harjoittele yksiköiden muuntamista myös laskimella tai tietokoneella. Erikoisimmat yksiköt voivat puuttua ohjelmasta.
Yksikkömuunnokset Googlella:
Jos käytössäsi on internet-yhteys, niin monet yksikkömuunnokset onnistuvat kirjoittamalla haluttu muunnos Googlen hakukenttään:a) kirjoita Googlen hakukenttään "5 bar to Pa"
b) kirjoita Googlen hakukenttään "2000 m2 to acre"
c) kirjoita Googlen hakukenttään "10 carat to g"
Etuliitteet onnistuvat myös, kuten esimerkiksi "1 µm to meter"
(mikron merkki "myy" tulee näppäinyhdistelmällä "altgr+m")
